Una de las aplicaciones más interesantes del cálculo de probabilidades se refiere a los valores medios que deben elegirse entre los resultados de las observaciones.
Muchos geómetras han estudiado el tema, y Lagrange ha publicado en las Mémoires de Turin un hermoso método para determinar estos valores medios cuando se conoce la ley de los errores de las observaciones. Yo he dado para el mismo fin un método basado en un artificio singular que puede emplearse con ventaja en otras cuestiones de análisis; y este, al permitir la extensión indefinida en todo el curso de un largo cálculo de las funciones que debieran estar limitadas por la naturaleza del problema, indica las modificaciones que cada término del resultado final debe recibir en virtud de estas limitaciones.
Ya se ha visto que cada observación suministra una ecuación de condición de primer grado, la cual siempre puede disponerse de tal manera que todos sus términos estén en el primer miembro, siendo cero el segundo. El uso de estas ecuaciones es una de las principales causas de la gran precisión de nuestras tablas astronómicas, porque un número inmenso de excelentes observaciones ha concurrido así a determinar sus elementos.
Cuando hay un solo elemento que determinar, Côtes prescribió que las ecuaciones de condición se prepararan de tal manera que el coeficiente del elemento desconocido fuera positivo en cada una de ellas; y que todas estas ecuaciones se sumaran para formar una ecuación final, de donde se deriva el valor de este elemento. La regla de Côtes fue seguida por todos los calculadores, pero como él omitió determinar varios elementos, no había una regla fija para combinar las ecuaciones de condición de manera que se obtuvieran las ecuaciones finales necesarias; sino que se elegían para cada elemento las observaciones más adecuadas para determinarlo.
Fue para obviar estas vacilaciones que Legendre y Gauss concluyeron por sumar los cuadrados de los primeros miembros de las ecuaciones de condición, y hacer que la suma fuera un mínimo, variando cada elemento desconocido; por este medio se obtienen directamente tantas ecuaciones finalidades como elementos hay.
Pero ¿merecen los valores determinados por estas ecuaciones la preferencia sobre todos los que pueden obtenerse por otros medios? A esta pregunta, el cálculo de probabilidades era el único capaz de responder. Lo apliqué, pues, a este asunto, y obtuve mediante un análisis delicado una regla que incluye el método precedente y que añade a la ventaja de dar, mediante un proceso regular, los elementos deseados, la de obtenerlos con la mayor apariencia de evidencia a partir del conjunto de las observaciones, y de determinar los valores que solo dejan temer los menores errores posibles.
Sin embargo, solo tenemos un conocimiento imperfecto de los resultados obtenidos, en tanto que se desconoce la ley de los errores de los que son susceptibles; debemos ser capaces de asignar la probabilidad de que estos errores estén contenidos dentro de unos límites dados, lo que equivale a determinar lo que he llamado el peso de un resultado.
El análisis conduce a fórmulas generales y simples para este propósito. He aplicado este análisis a los resultados de las observaciones geodésicas. El problema general consiste en determinar las probabilidades de que los valores de una o de varias funciones lineales de los errores de un número muy grande de observaciones estén contenidos dentro de unos límites cualesquiera.
La ley de la posibilidad de los errores de las observaciones introduce en las expresiones de estas probabilidades una constante, cuyo valor parece requerir el conocimiento de esta ley, el cual es casi siempre desconocido.