dentro de los límites la integral del producto de esta exponencial por la diferencial del error y multiplicándola por la raíz cuadrada del peso del resultado dividida por la circunferencia cuyo diámetro es la unidad. De esto se sigue que, para una misma probabilidad, los errores de los resultados son recíprocos a las raíces cuadradas de sus pesos, lo cual sirve para comparar su precisión respectiva.
Para aplicar este método con éxito es necesario variar las circunstancias de las observaciones o de las experiencias de tal manera que se eviten las causas constantes de error.
Es necesario que las observaciones sean numerosas, y que lo sean tanto más cuanto más elementos haya que determinar; pues el peso del resultado medio aumenta como el número de observaciones dividido por el número de los elementos.
Es preciso además que los elementos sigan en estas observaciones un curso diferente; pues si el curso de los dos elementos fuera exactamente el mismo, lo que haría que sus coeficientes fuesen proporcionales en la ecuación de condiciones, estos elementos formarían una sola cantidad incógnita y sería imposible distinguirlos mediante estas observaciones.
Finalmente es necesario que las observaciones sean precisas; esta condición, la primera de todas, aumenta en gran medida el peso del resultado cuya expresión tiene por divisor la suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto a este resultado.
Con estas precauciones podremos hacer uso del método precedente y medir el grado de confianza que merecen los resultados deducidos de un gran número de observaciones.
La regla que acabamos de dar para concluir las ecuaciones de condición, ecuaciones finales, equivale a hacer un mínimo de la suma de los cuadrados de los errores de las observaciones; pues cada ecuación de condición se vuelve exacta sustituyendo en ella la observación más su error; y si de ella sacamos la expresión de este error, es fácil ver que la condición del mínimo de la suma de los cuadrados de estas expresiones da la regla en cuestión.
Esta regla es tanto más precisa cuanto más numerosas son las observaciones; pero incluso en el caso en que su número sea pequeño parece natural emplear la misma regla, que en todos los casos ofrece un medio simple de obtener sin tanteos las correcciones que buscamos determinar.
Sirve además para comparar la precisión de las diversas tablas astronómicas de una misma estrella. Estas tablas siempre pueden suponerse reducidas a la misma forma, y entonces solo difieren por las épocas, los movimientos medios y los coeficientes de los argumentos; pues si una de ellas contiene un coeficiente que no se encuentra en las otras, es claro que esto equivale a suponer cero en ellas como coeficiente de este argumento.
Si ahora rectificamos estas tablas mediante la totalidad de las buenas observaciones, estas satisfarán la condición de que la suma de los cuadrados de los errores sea un mínimo; las tablas que, comparadas con un número considerable de observaciones, se acerquen más a esta condición merecen entonces la preferencia.
Es principalmente en la astronomía donde el método explicado anteriormente puede emplearse con ventaja.