obra que en la de Huygens. El autor ofrece una teoría general de las combinaciones y series, y la aplica a varias cuestiones difíciles relativas a los juegos de azar. Esta obra sigue siendo notable debido a la justeza y agudeza de visión, al empleo de la fórmula del binomio en este tipo de cuestiones, y a la demostración de este teorema, a saber, que al multiplicar indefinidamente las observaciones y las experiencias, la razón de los sucesos de diferentes naturalezas se aproxima a la de sus probabilidades respectivas en unos límites cuyo intervalo se vuelve más y más estrecho a medida que se multiplican, y se vuelve menor que cualquier cantidad asignable. Este teorema es muy útil para obtener mediante observaciones las leyes y las causas de los fenómenos. Bernoulli concede, con razón, una gran importancia a su demostración, sobre la cual se dice que meditó durante veinte años.
En el intervalo, desde la muerte de Jacques Bernoulli hasta la publicación de su obra, Montmort y Moivre produjeron dos tratados sobre el cálculo de probabilidades.
El de Montmort lleva por título Essai sur les Jeux de hasard; contiene numerosas aplicaciones de este cálculo a diversos juegos. El autor ha añadido en la segunda edición algunas cartas en las que Nicolas Bernoulli da las ingeniosas soluciones de varios problemas difíciles.
El tratado de Moivre, posterior al de Montmort, apareció primero en las Transactions philosophiques del año 1711. Después, el autor lo publicó por separado, y lo ha mejorado sucesivamente en tres ediciones. Esta obra está basada principalmente en la fórmula del binomio y los problemas que contiene tienen, al igual que sus soluciones, una gran generalidad. Pero su rasgo distintivo es la teoría de las series recurrentes y su uso en este tema. Esta teoría es la integración de ecuaciones lineales de diferencias finitas con coeficientes constantes, que Moivre realizó de un modo muy afortunado.
En su obra, Moivre ha retomado la teoría de Jacques Bernoulli en lo que respecta a la probabilidad de los resultados determinados por un gran número de observaciones.
No se contenta con demostrar, como lo hace Bernoulli, que la razón de los acontecimientos que deben ocurrir se aproxima sin cesar a la de sus probabilidades respectivas; sino que da, además, una expresión elegante y simple de la probabilidad de que la diferencia de estas dos razones esté contenida dentro de unos límites dados.
Para este fin determina la razón entre el término mayor del desarrollo de una potencia muy alta del binomio y la suma de todos sus términos, y el logaritmo hiperbólico del exceso de este término sobre los términos adyacentes a él.
Siendo entonces el mayor término el producto de un número considerable de factores, su cálculo numérico resulta impracticable. Para obtenerlo mediante una aproximación convergente, Moivre se sirve de un teorema de Stirling relativo al término medio del binomio elevado a una alta potencia, un teorema notable, sobre todo por esto, en cuanto que introduce la raíz cuadrada de la razón entre la circunferencia y el radio en una expresión que A primera vista parecería ajena a este trascendente.
Además, Moivre quedó muy impresionado por este resultado, que Stirling había deducido a partir de la expresión de la circunferencia en productos infinitos; Wallis había llegado a esta expresión mediante un análisis singular que contiene el germen de la muy curiosa y útil teoría de las integrales definidas.