individuo de quien se toma prestado el capital. A partir de estos principios se pueden calcular todos los tipos posibles de préstamos.
Los principios que acabamos de exponer acerca de las ventajas y de las pérdidas de las instituciones pueden servir para determinar el resultado medio de cualquier número de observaciones ya hechas, cuando se desea considerar las desviaciones de los resultados correspondientes a diversas observaciones.
Designemos por x la corrección del menor resultado y por x aumentado sucesivamente en q, q´, q´´, etc., las correcciones de los siguientes resultados. Llamemos e, e´, e´´, etc., a los errores de las observaciones cuya ley de probabilidad supondremos conocida.
Siendo cada observación una función del resultado, es fácil ver que, al suponer que la corrección x de este resultado es muy pequeña, el error e de la primera observación será igual al producto de x por un coeficiente determinado. Del mismo modo, el error e´ de la segunda observación será el producto de la suma q más x, por un coeficiente determinado, y así sucesivamente.
Estando dada la probabilidad del error e por una función conocida, se expresará mediante la misma función del primero de los productos precedentes. La probabilidad de e´ se expresará mediante la misma función del segundo de estos productos, y así sucesivamente con los demás.
La probabilidad de la existencia simultánea de los errores e, e´, e´´, etc., será entonces proporcional al producto de estas diversas funciones, producto que será una función de x. Esto concedido, si se concibe una curva cuya abscisa sea x, y cuya ordenada correspondiente sea este producto, esta curva representará la probabilidad de los diversos valores de x, cuyos límites serán determinados por los límites de los errores e, e´, e´´, etc.
Ahora designemos por X la abscisa que es necesario elegir; X disminuida en x será el error que se cometería si la abscisa x fuera la corrección verdadera. Este error, multiplicado por la probabilidad de x o por la ordenada correspondiente de la curva, será el producto de la pérdida por su probabilidad, considerando, como se debe, este error como una pérdida asociada a la elección X.
Multiplicando este producto por el diferencial de x, la integral tomada desde el primer extremo de la curva hasta X será la desventaja de X resultante de los valores de x inferiores a X.
Para los valores de x superiores a X, x menos X sería el error de X si x fuera la corrección verdadera; la integral del producto de x por la ordenada correspondiente de la curva y por el diferencial de x será entonces la desventaja de X resultante de los valores x superiores a x, siendo tomada esta integral desde x igual a X hasta el último extremo de la curva.
Sumando esta desventaja a la precedente, la suma será la desventaja asociada a la elección de X.
Esta elección debe estar determinada por la condición de que esta desventaja sea un mínimo; y un cálculo muy sencillo muestra que para ello X debe ser la abscisa cuya ordenada divide la curva en dos partes iguales, de modo que es así probable que el verdadero valor de x no caiga ni de un lado ni del otro de X.
Celebrados geómetras han elegido para X el valor más probable de x y en consecuencia el que corresponde a la ordenada más grande de la curva; pero el valor precedente me parece evidentemente el que indica la teoría de la probabilidad.