# CAPÍTULO XV. DE LOS BENEFICIOS DE LAS INSTITUCIONES QUE DEPENDEN DE LA PROBABILIDAD DE LOS ACONTECIMIENTOS.
Recordemos aquí lo que se ha dicho al hablar de la esperanza. Se ha visto que, para obtener la ventaja que resulta de varios acontecimientos simples, de los cuales unos producen un beneficio y otros una pérdida, es necesario sumar los productos de la probabilidad de cada acontecimiento favorable por el beneficio que procura, y restar de su suma la de los productos de la probabilidad de cada acontecimiento desfavorable por la pérdida que le va adjunta.
Pero cualquiera que sea la ventaja expresada por la diferencia de estas sumas, un solo acontecimiento compuesto de estos acontecimientos simples no garantiza contra el temor de experimentar una pérdida. Uno se imagina que este temor debe disminuir cuando se multiplica el acontecimiento compuesto. El análisis de las probabilidades conduce a este teorema general.
Por la repetición de un acontecimiento ventajoso, simple o compuesto, el beneficio real se vuelve cada vez más probable y aumenta sin cesar; se vuelve cierto en la hipótesis de un número infinito de repeticiones;
y dividiéndolo por este número, el cociente o el beneficio medio de cada acontecimiento es la esperanza matemática misma o la ventaja relativa al acontecimiento. Lo mismo ocurre con una pérdida que se vuelve cierta a la larga, por pequeña que sea la desventaja del acontecimiento.
Este teorema sobre las esperanzas y los riesgos es análogo a los que ya hemos dado sobre las razones que indican la repetición indefinida de los acontecimientos simples o compuestos; y, al igual que ellos, prueba que la regularidad termina por establecerse incluso en las cosas más subordinadas a aquello que llamamos azar.
Cuando los acontecimientos son en gran número, el análisis da otra expresión muy simple de la probabilidad de que el beneficio esté comprendido dentro de unos límites determinados.
Esta es la expresión que vuelve a entrar en la ley general de probabilidad dada anteriormente al hablar de las probabilidades que resultan de la multiplicación indefinida de los acontecimientos.
La estabilidad de las instituciones que se basan en probabilidades depende de la verdad del teorema precedente. Pero para que pueda aplicarse a ellas, es necesario que dichas instituciones multipliquen estos acontecimientos ventajosos en aras de numerosas cosas.
Sobre las probabilidades de la vida humana se han fundado diversas instituciones, tales como las rentas vitalicias y las tontinas. El método más general y más simple de calcular los beneficios y los gastos de estas instituciones consiste en reducirlos a cantidades actuales.
El interés anual de la unidad es lo que se denomina el tipo de interés. Al final de cada año, una cantidad adquiere por factor la unidad más el tipo de interés; aumenta entonces según una progresión geométrica de la cual este factor es la razón. Así, en el transcurso del tiempo, se vuelve inmensa.
Si, por ejemplo, el tipo de interés es 1⁄20 o cinco por ciento, el capital se duplica casi exactamente en catorce años, se cuadruplica en veintinueve años, y en menos de tres siglos se vuelve dos millones de veces mayor.
Un aumento tan prodigioso ha dado origen a la idea de aprovecharlo para pagar la deuda pública.