Si el testigo, deseando engañar, tiene algún interés en elegir el número 79 entre los números no extraídos —si juzga, por ejemplo, que habiendo colocado sobre este número una apuesta considerable, el anuncio de su extracción aumentará su crédito—, la probabilidad de que elija este número ya no será, como al principio, 1⁄999; será entonces ½, ⅓, etc., según el interés que tenga en anunciar su extracción.
Suponiendo que sea 1⁄9, será necesario multiplicar por esta fracción la probabilidad 999⁄1000 con el fin de obtener, en la hipótesis de la falsedad, la probabilidad del suceso observado, la cual es necesario multiplicar todavía por 1⁄10, lo que da 111⁄10000 para la probabilidad del suceso en la segunda hipótesis.
Luego la probabilidad de la primera hipótesis, o de la extracción del número 79, se reduce según la regla precedente a 9⁄120. Queda entonces muy disminuida por la consideración del interés que el testigo pueda tener en anunciar la extracción del número 79.
En verdad, este mismo interés aumenta a 9⁄10 la probabilidad de que el testigo diga la verdad si se extrae el número 79. Pero esta probabilidad no puede exceder la unidad o 10⁄10; por lo tanto, la probabilidad de la extracción del número 79 no superará a 10⁄121. El sentido común nos dice que este interés debe inspirar desconfianza, pero el cálculo evalúa su influencia.
La probabilidad à priori del número anunciado por el testigo es la unidad dividida por el número de números en la urna; se cambia en virtud de la prueba en la veracidad misma del testigo; puede entonces disminuir por la prueba.
Si, por ejemplo, la urna contiene solo dos números, lo que da ½ para la probabilidad à priori de la extracción del número 1, y si la veracidad de un testigo que lo anuncia es 4⁄10, esta extracción se vuelve menos probable. En efecto, es evidente, puesto que el testigo tiene entonces más inclinación hacia la falsedad que hacia la verdad, que su testimonio debe disminuir la probabilidad del hecho atestiguado cada vez que esta probabilidad sea igual o supere a ½.
Pero si hay tres números en la urna, la probabilidad à priori de la extracción del número 1 aumenta con la afirmación de un testigo cuya veracidad supera a ⅓.
Supongamos ahora que la urna contiene 999 bolas negras y una bola blanca, y que, habiendo sido extraída una bola, un testigo de la extracción anuncia que esta bola es blanca. La probabilidad del suceso observado, determinada à priori en la primera hipótesis, será aquí, como en la cuestión precedente, igual a 9⁄10000. Pero en la hipótesis en que el testigo engaña, la bola blanca no es extraída y la probabilidad de este caso es 999⁄1000.
Es necesario multiplicarlo por la probabilidad 1⁄10 de la falsedad, lo que da 999⁄10000 para la probabilidad del evento observado relativa a la segunda hipótesis. Esta probabilidad era de solo 1⁄10000 en la pregunta precedente; esta gran diferencia resulta de esto: que habiéndose extraído una bola negra, el testigo que desea engañar no tiene en absoluto ninguna elección que hacer entre las 999 bolas no extraídas para anunciar la extracción de una bola blanca.
Ahora bien, si se forman dos fracciones cuyos numeradores son las probabilidades relativas a cada hipótesis, y cuyo denominador común es la suma de estas probabilidades, se tendrá 9⁄1008 para la probabilidad de la primera hipótesis y de la extracción de una bola blanca, y 999⁄1008 para la probabilidad de la segunda hipótesis y de la extracción de una bola negra.