La formación de una ecuación final por medio de las ecuaciones de condición equivale a multiplicar cada una de estas por un factor indeterminado y a unir los productos; es necesario elegir el sistema de factores que ofrezca la menor oportunidad de error.
Pero es evidente que si multiplicamos los errores posibles de un elemento por sus respectivas probabilidades, el sistema más ventajoso será aquel en el que la suma de todos estos productos, tomados positivamente, sea un mínimo; pues un error positivo o negativo debe considerarse como una pérdida.
Formando, pues, esta suma de productos, la condición del mínimo determinará el sistema de factores que es conveniente adoptar, o el sistema más ventajoso.
Hallamos así que este sistema es el de los coeficientes de los elementos en cada ecuación de condición; de modo que formamos una primera ecuación final multiplicando respectivamente cada ecuación de condición por su coeficiente del primer elemento y uniendo todas estas ecuaciones así multiplicadas.
Formamos una segunda ecuación final empleando de la misma manera los coeficientes del segundo elemento, y así sucesivamente. De este modo, los elementos y las leyes de los fenómenos obtenidos en el conjunto de un gran número de observaciones se desarrollan con la mayor evidencia.
La probabilidad de los errores que cada elemento aún deja por temer es proporcional al número cuyo logaritmo hiperbólico es la unidad elevado a una potencia igual al cuadrado del error tomado con signo negativo y multiplicado por un coeficiente constante que puede considerarse como el módulo de la probabilidad de los errores; porque, permaneciendo invariable el error, su probabilidad decrece con rapidez cuando el primero aumenta; de modo que el elemento obtenido pesa, si así puede hablarse hacia la verdad, tanto más cuanto mayor es este módulo. Llamaría por esta razón a este módulo el peso del elemento o del resultado.
Este peso es el mayor posible en el sistema de factores —el más ventajoso—; es este el que da a este sistema superioridad sobre los demás. Por una notable analogía de este peso con los de los cuerpos comparados en su centro de gravedad común, resulta que si un mismo elemento es dado por diversos sistemas, compuestos cada uno de un gran número de observaciones, el resultado más ventajoso, el resultado medio de su totalidad, es la suma de los productos de cada resultado parcial por su peso.
Además, el peso total de los resultados de los diversos sistemas es la suma de sus pesos parciales; de modo que la probabilidad de los errores del resultado medio de su totalidad es proporcional al número que tiene la unidad por logaritmo hiperbólico elevado a una potencia igual al cuadrado del error tomado como negativo y multiplicado por la suma de los pesos.
Cada peso depende en verdad de la ley de la probabilidad del error de cada sistema, y casi siempre esta ley es desconocida; pero felizmente he podido eliminar el factor que la contiene por medio de la suma de los cuadrados de las variaciones de las observaciones en este sistema respecto a su resultado medio.
Sería entonces conveniente, para completar nuestro conocimiento de los resultados obtenidos por la totalidad de un gran número de observaciones, escribir al lado de cada resultado el peso que le corresponde; el análisis proporciona para este fin métodos tan generales como sencillos. Cuando hayamos obtenido así la exponencial que representa la ley de la probabilidad de los errores, tendremos la probabilidad de que el error del resultado esté comprendido dentro de límites dados tomando