Pero es notable que Wallis, que había considerado tan bien los exponentes fraccionarios de las potencias radicales, hubiera seguido anotando estas potencias como se había hecho antes que él. Newton en sus Cartas a Oldembourg, si no me equivoco, fue el primero en emplear la notación de estas potencias mediante exponentes fraccionarios.
Comparando por la vía de la inducción, de la cual Wallis había hecho un uso tan bello, los exponentes de las potencias del binomio con los coeficientes de los términos de su desarrollo en el caso en que este exponente es entero y positivo, determinó la ley de estos coeficientes y la extendió por analogía a las potencias fraccionarias y negativas.
Estos diversos resultados, basados en la notación de Descartes, muestran su influencia en el progreso del análisis. Este todavía tiene la ventaja de dar la idea más simple y justa de los logaritmos, que en realidad no son más que los exponentes de una magnitud cuyas sucesivas potencias, crecientes en grados infinitamente pequeños, pueden representar todos los números.
Pero la extensión más importante que ha recibido esta notación es la de los exponentes variables, que constituye el cálculo exponencial, una de las ramas más fructíferas del análisis moderno.
Leibniz fue el primero en indicar las trascendentes mediante exponentes variables, completando con ello el sistema de elementos de los que puede componerse una función finita; pues toda función finita explícita de una variable puede reducirse, en última instancia, a magnitudes simples, combinadas por el método de adición, sustracción, multiplicación y división, y elevadas a potencias constantes o variables.
Las raíces de las ecuaciones formadas a partir de estos elementos son las funciones implícitas de la variable. Es así como una variable tiene por logaritmo el exponente de la potencia que le es igual en la serie de las potencias del número cuyo logaritmo hiperbólico es la unidad, y el logaritmo de una variable de esta es una función implícita.
Leibnitz pensó en dar a su carácter diferencial los mismos exponentes que a las magnitudes; pero entonces, en lugar de indicar las multiplicaciones repetidas de una misma magnitud, estos exponentes indican las diferenciaciones repetidas de una misma función. Esta nueva extensión de la notación cartesiana condujo a Leibnitz a la analogía de las potencias positivas con los diferenciales, y de las potencias negativas con las integrales.
Lagrange ha seguido esta singular analogía en todos sus desarrollos; y mediante una serie de inducciones que pueden considerarse como una de las más bellas aplicaciones que jamás se hayan hecho del método de inducción, ha llegado a fórmulas generales tan curiosas como útiles sobre las transformaciones de las diferencias y de las integrales unas en otras cuando las variables tienen diversos incrementos finitos y cuando estos incrementos son infinitamente pequeños.
Pero no ha dado las demostraciones de ello, que le parecen difíciles. La teoría de las funciones discriminantes extiende las notaciones cartesianas a algunos de sus caracteres; muestra con pruebas la analogía de las potencias y operaciones indicadas por estos caracteres; de modo que aún puede considerarse como el cálculo exponencial de los caracteres. Todo lo concerniente a las series y a la integración de ecuaciones de diferencias surge de ella con extrema facilidad.