Como las cuestiones geodésicas no ofrecen ecuaciones similares, es necesario buscar otro medio de eliminación. La cantidad en la que la suma de los ángulos de cada triángulo observado supera a dos rectos más el exceso esférico proporciona este medio. Así, reemplazamos por la suma de los cuadrados de estas cantidades la suma de los cuadrados de los remanentes de las ecuaciones de condición; y podemos asignar en números la probabilidad de que el error del resultado final de una serie de operaciones geodésicas no exceda una cantidad dada.
Pero ¿cuál es la manera más ventajosa de repartir entre los tres ángulos de cada triángulo la suma observada de sus errores?
El análisis de probabilidades hace evidente que cada ángulo debe ser disminuido en un tercio de esta suma, siempre que el peso de un resultado geodésico sea el mayor posible, lo que hace que el mismo error sea menos probable.
Hay, por tanto, una gran ventaja en observar los tres ángulos de cada triángulo y en corregirlos tal como acabamos de decir. El mero sentido común indica esta ventaja; pero solo el cálculo de probabilidades es capaz de apreciarla y de poner de manifiesto que mediante esta corrección dicha ventaja llega a ser la mayor posible.
Para asegurarse de la exactitud del valor de un gran arco que descansa sobre una base medida en uno de sus extremos, se mide una segunda base hacia el otro extremo; y se deduce a partir de una de estas bases la longitud de la otra. Si esta longitud varía muy poco respecto a la observación, hay toda razón para creer que la cadena de triángulos que une estas bases es muy cercana a la exactitud e igualmente el valor del gran arco que resulta de ella.
Se corrige, entonces, este valor modificando los ángulos de los triángulos de tal manera que la base sea calculada de acuerdo con las bases medidas. Pero esto puede hacerse de un modo infinito de maneras, entre las cuales se prefiere aquella cuyo resultado geodésico tiene el mayor peso, por cuanto el mismo error se vuelve menos probable.
El análisis de probabilidades da fórmulas para obtener directamente la corrección más ventajosa que resulta de las mediciones de las varias bases y de las leyes de probabilidad que la multiplicidad de las bases hace —leyes que se vuelven muy rápidamente decrecientes por esta multiplicidad—.
Generalmente los errores de los resultados deducidos de un gran número de observaciones son funciones lineales de los errores parciales de cada observación. Los coeficientes de estas funciones dependen de la naturaleza del problema y del proceso seguido para obtener los resultados. El proceso más ventajoso es evidentemente aquel en el que el mismo error en los resultados es menos probable que según cualquier otro proceso.
La aplicación del cálculo de probabilidades a la filosofía natural consiste, pues, en determinar analíticamente la probabilidad de los valores de estas funciones y en elegir sus coeficientes indeterminados de tal manera que la ley de esta probabilidad sea la más rápidamente decreciente. Eliminando, pues, de las fórmulas mediante los datos de la cuestión el factor que introduce la ley, casi siempre desconocida, de la probabilidad de los errores parciales, podremos evaluar numéricamente la probabilidad de que los errores de los resultados no excedan una cantidad dada. Tendremos así todo lo que pueda desearse respecto a los resultados deducidos de un gran número de observaciones.