Es fácil demostrar que, siendo la diferencia finita n-ésima de una función en la que el incremento de la variable es E dividida por la potencia n-ésima de E, el cociente reducido en serie por razón de las potencias del incremento E está formado por un primer término independiente de E. En la medida en que E disminuye, la serie se aproxima cada vez más a este primer término del cual solo puede diferir en cantidades menores que cualquier magnitud asignable.
Este término es entonces el límite de la serie y expresa en el cálculo diferencial la diferencia n-ésima infinitamente pequeña de la función dividida por la potencia n-ésima del incremento infinitamente pequeño.
Considerando desde este punto de vista las diferencias infinitamente pequeñas, vemos que las diversas operaciones del cálculo diferencial se reducen a comparar por separado, en el desarrollo de expresiones idénticas, los términos finitos o aquellos independientes de los incrementos de las variables que se consideran como infinitamente pequeños; esto es rigurosamente exacto, siendo dichos incrementos indeterminados.
Así, el cálculo diferencial tiene toda la exactitud de las demás operaciones algebraicas.
La misma exactitud se encuentra en las aplicaciones del cálculo diferencial a la geometría y a la mecánica. Si imaginamos una curva cortada por una secante en dos puntos adyacentes, llamando E al intervalo de las ordenadas de estos dos puntos, E será el incremento de la abscisa desde la primera hasta la segunda ordenada.
Es fácil ver que el incremento correspondiente de la ordenada será el producto de E por la primera ordenada dividida por su subsecante; aumentando entonces en esta ecuación de la curva la primera ordenada por este incremento, tendremos la ecuación relativa a la segunda ordenada.
La diferencia de estas dos ecuaciones será una tercera ecuación que, desarrollada según la razón de las potencias de E y dividida por E, tendrá su primer término independiente de E, el cual será el límite de este desarrollo. Este término, igual a cero, dará entonces el límite de las subsecantes, un límite que es evidentemente la subtangente.
Este método singularmente feliz para obtener la subtangente se debe a Fermat, quien lo ha extendido a las curvas trascendentes. Este gran geómetra expresa mediante el carácter E el incremento de la abscisa; y considerando únicamente la primera potencia de este incremento, determina exactamente como nosotros mediante el cálculo diferencial las subtangentes de las curvas, sus puntos de inflexión, los máximos y mínimos de sus ordenadas, y en general los de las funciones racionales.