de extraer sucesivamente cuatro bolas negras debería ser menor que en el caso de la igualdad de los colores o menor que un dieciseisavo.
Sin embargo, no lo es, y mediante un cálculo muy sencillo se encuentra que esta probabilidad es mayor que un catorceavo. En efecto, sería la cuarta potencia de ¼, de 2⁄4 y de ¾ en la primera, la segunda y la tercera de las suposiciones precedentes relativas a los colores de las bolas en la urna. Multiplicando respectivamente cada potencia por la probabilidad de la suposición correspondiente, o por 3⁄6, 2⁄6 y ⅙, la suma de los productos será la probabilidad de extraer sucesivamente cuatro bolas negras. Se tiene así para esta probabilidad 29⁄384, una fracción mayor que 1⁄14.
Este paradoxa se explica considerando que la indicación de la superioridad de las bolas blancas sobre las negras en la primera extracción no excluye en absoluto la superioridad de las bolas negras sobre las blancas, una superioridad que excluye la suposición de la igualdad de los colores. Pero esta superioridad, aunque poco probable, debe hacer que la probabilidad de extraer sucesivamente un número dado de bolas negras sea mayor que en esta suposición si el número es considerable; y se acaba de ver que esto comienza cuando el número dado es igual a cuatro.
Consideremos de nuevo una urna que contiene varias bolas blancas y negras. Supongamos al principio que solo hay una bola blanca y una negra. Es entonces una apuesta equitativa que se extraiga una bola blanca en una sola extracción.
Pero parece lógico para la equidad de la apuesta que quien apuesta a extraer la bola blanca deba tener dos extracciones si la urna contiene dos negras y una blanca, tres extracciones si contiene tres negras y una blanca, y así sucesivamente; se supone que después de cada extracción la bola extraída se vuelve a poner en la urna.
Nos convencemos fácilmente de que esta primera idea es errónea. En efecto, en el caso de dos bolas negras y una blanca, la probabilidad de extraer dos negras en dos extracciones es la segunda potencia de ⅔ o 4⁄9; pero esta
probabilidad sumada a la de extraer una bola blanca en dos extracciones es la certeza o la unidad, puesto que es seguro que se deben extraer dos bolas negras o al menos una bola blanca; la probabilidad en este último caso es entonces 5⁄9, una fracción mayor que ½. Habría aún una mayor ventaja en la apuesta de extraer una bola blanca en cinco extracciones cuando la urna contiene cinco bolas negras y una blanca; esta apuesta es incluso ventajosa en cuatro extracciones; equivale entonces a la de sacar un seis en cuatro tiradas con un solo dado.
El caballero de Méré, que provocó la invención del cálculo de probabilidades al animar a su amigo Pascal, el gran geómetra, a ocuparse de él, le dijo «que había encontrado un error en los números según esta proporción: si uno se propone sacar un seis con un solo dado, hay ventaja en intentarlo en cuatro tiradas, en razón de 671 a 625. Si uno se propone sacar dos seises con dos dados, hay desventaja en intentarlo en 24 tiradas. Al menos, 24 es a 36, el número de las caras de los dos dados, como 4 es a 6, el número de caras de un dado». «Esto era —escribió Pascal a Fermat— su gran escándalo, lo que le hacía decir audazmente que las proporciones no eran constantes y que la aritmética estaba desquiciada... Tiene muy buen espíritu, pero no es geómetra, lo cual es, como sabéis, un gran defecto».