Vemos asimismo por su bella solución del problema de la refracción de la luz insertada en la Colección de las cartas de Descartes que sabe cómo extender sus métodos a las funciones irracionales liberándolas de las irracionalidades mediante la elevación de las raíces a potencias. Fermat debe ser considerado, por tanto, como el verdadero descubridor del cálculo diferencial. Newton ha hecho desde entonces este cálculo más analítico en su Método de las fluxiones, y ha simplificado y generalizado los procedimientos mediante su bello teorema del binomio. Finalmente, alrededor de la misma época, Leibnitz ha enriquecido el cálculo diferencial con una notación que, al indicar el paso de lo finito a lo infinitamente pequeño, añade a la ventaja de expresar los resultados generales del cálculo la de dar los primeros valores aproximados de las diferencias y de las sumas de las cantidades; esta notación se adapta por sí misma al cálculo de las diferenciales parciales.
A menudo somos conducidos a expresiones que contienen tantos términos y factores que las sustituciones numéricas son impracticables. Esto ocurre en cuestiones de probabilidad cuando consideramos un gran número de eventos.
Mientras tanto, es necesario tener el valor numérico de las fórmulas para saber con qué probabilidad se indican los resultados que los eventos desarrollan por multiplicación. Es necesario especialmente tener el
ley según la cual esta probabilidad se acerca continuamente a la certeza, que finalmente alcanzaría si el número de acontecimientos fuera infinito. Para obtener esta ley consideré que las integrales definidas de los diferenciales multiplicados por los factores elevados a grandes potencias darían por integración fórmulas compuestas por un gran número de términos y factores.
Esta observación me condujo a la idea de transformar en integrales similares las expresiones complicadas del análisis y las integrales de la ecuación de diferencias. Cumplí esta condición mediante un método que da al mismo tiempo la función comprendida bajo el signo de la integral y los límites de la integración.
Ofrece esta cosa notable, que la función es la misma función discriminante de las expresiones y de las ecuaciones propuestas; esto adscribe este método a la teoría de las funciones discriminantes de la cual es así el complemento.
Además, solo se trataría de reducir la integral definida a una serie convergente. Esto lo he obtenido mediante un proceso que hace converger la serie con tanta más rapidez cuanto más complicada es la fórmula que representa, de modo que es más exacta cuanto más necesaria se vuelve.
Frecuentemente la serie tiene por factor la raíz cuadrada de la razón de la circunferencia al diámetro; a veces depende de otros trascendentes cuyo número es infinito.
Una observación importante que concierne a la gran generalidad del análisis, y que nos permite extender este método a las fórmulas y a las ecuaciones de diferencias que la teoría de la probabilidad presenta con mayor frecuencia, es que las series a las que se llega al suponer que los límites de las integrales definidas son reales y positivos tienen lugar igualmente en el caso en que la ecuación que determina estos límites solo tiene raíces negativas o imaginarias.