Esto queda de hecho confirmado por el cálculo de probabilidades.
Para hacernos entender, consideremos dos urnas, A y B, de las cuales la primera contiene un millón de bolas blancas y la segunda un millón de bolas negras.
Se extrae de una de estas urnas una bola, que se vuelve a poner en la otra urna, de la cual se extrae entonces una bola.
Dos testigos, el uno de la primera extracción, el otro de la segunda, atestiguan que la bola que han visto extraer es blanca, sin indicar la urna de la cual ha sido extraída.
Cada testimonio tomado por separado no es improbable; y es fácil ver que la probabilidad del hecho atestiguado es la veracidad misma del testigo.
Pero de la combinación de los testimonios se deduce que se ha extraído una bola blanca de la urna A en la primera extracción, y que luego, colocada en la urna B, ha vuelto a aparecer en la segunda extracción, lo cual es muy extraordinario; pues contenía esta segunda urna entonces una bola blanca entre un millón de bolas negras, la probabilidad de extraer la bola blanca es 1⁄1000001.
Para determinar la disminución que resulta en la probabilidad de la cosa anunciada por los dos testigos, notaremos que el evento observado es aquí la afirmación por parte de cada uno de ellos de que la bola que ha visto extraer es blanca. Representemos por 9⁄10 la probabilidad de que anuncie la verdad, lo cual puede ocurrir en el presente caso cuando el testigo no engaña y no se equivoca en absoluto, y cuando engaña y se equivoca al mismo tiempo. Se pueden formular las cuatro hipótesis siguientes:
1.º El primero y el segundo testigo dicen la verdad.
Entonces, al principio se ha extraído una bola blanca de la urna A, y la probabilidad de este evento es ½, ya que la bola extraída en la primera extracción puede haber sido extraída de una o de la otra urna. En consecuencia, la bola extraída, colocada en la urna B, ha vuelto a aparecer en la segunda extracción; la probabilidad de este evento es 1⁄1000001, la probabilidad del hecho anunciado es entonces 1⁄2000002.
Multiplicándola por el producto de las probabilidades 9⁄10 y 9⁄10 de que los testigos digan la verdad, se tendrá 81⁄200000200 para la probabilidad del evento observado en esta primera hipótesis.
2d. El primer testigo dice la verdad y el segundo no, ya sea que engañe y no esté equivocado, o que no engañe y esté equivocado. Entonces se ha extraído una bola blanca de la urna A en la primera extracción, y la probabilidad de este evento es ½. Luego, habiendo sido colocada esta bola en la urna B, se ha extraído de ella una bola negra: la probabilidad de tal extracción es 1000000⁄1000001; se tiene entonces 1000000⁄2000002 para la probabilidad del evento compuesto. Multiplicándola por el producto de las dos probabilidades 9⁄10 y 1⁄10 de que el primero diga la verdad y el segundo no, se tendrá 9000000⁄200000200 para la probabilidad del evento observado en la segunda hipótesis.
3d. El primer testigo no dice la verdad y el segundo la anuncia. Entonces se ha extraído una bola negra de la urna B en la primera extracción, y después de haber sido colocada en la urna A se ha extraído una bola blanca de esta urna. La probabilidad del primero de estos eventos es ½ y la del segundo es 1000000 ⁄ 1000001 ; la probabilidad del evento compuesto es entonces 1000000 ⁄ 2000002 .