Afortunadamente, esta constante puede determinarse a partir de las observaciones.
En la investigación de los elementos astronómicos, esta viene dada por la suma de los cuadrados de las diferencias entre cada observación y la calculada.
Siendo los errores igualmente probables proporcionales a la raíz cuadrada de esta suma, se puede, mediante la comparación de estos cuadrados, apreciar la exactitud relativa de las diferentes tablas de una misma estrella.
En las operaciones geodésicas, estos cuadrados son reemplazados por los cuadrados de los errores de las sumas observadas de los tres ángulos de cada triángulo. La comparación de los cuadrados de estos errores nos permitirá juzgar la precisión relativa de los instrumentos con los que se han medido los ángulos. Mediante esta comparación se observa la ventaja del círculo repetidor sobre los instrumentos que ha reemplazado en la geodesia.
Existe a menudo en las observaciones muchas fuentes de errores: así, estando determinadas las posiciones de las estrellas por medio del anteojo meridiano y del círculo, ambos susceptibles de errores cuya ley de probabilidad no debe suponerse la misma, los elementos que se deducen de estas posiciones resultan afectados por estos errores.
Las ecuaciones de condición, que se forman para obtener estos elementos, contienen los errores de cada instrumento y tienen diversos coeficientes. El sistema más ventajoso de factores por el cual estas ecuaciones deben ser multiplicadas respectivamente, para obtener, mediante la unión de los productos, tantas ecuaciones finales como elementos hay que determinar, ya no es el de los coeficientes de los elementos en cada ecuación de condición.
El análisis de que me he servido conduce fácilmente, cualquiera que sea el número de las fuentes de error, al sistema de factores que da los resultados más ventajosos, o aquellos en los cuales el mismo error es menos probable que en cualquier otro sistema.
El mismo análisis determina las leyes de probabilidad de los errores de estos resultados. Estas fórmulas contienen tantas constantes desconocidas como fuentes de error hay, y dependen de las leyes de probabilidad de estos errores.
- Se ha visto que, en el caso de una sola fuente, esta constante puede determinarse formando la suma de los cuadrados de los residuos de cada ecuación de condición, cuando se han sustituido los valores hallados para estos elementos.
- Un proceso similar da generalmente los valores de estas constantes, cualquiera que sea su número, lo cual completa la aplicación del cálculo de probabilidades a los resultados de las observaciones.
Debo hacer aquí una observación importante. La pequeña incertidumbre que las observaciones, cuando no son numerosas, dejan respecto a los valores de las constantes de las que acabo de hablar, vuelve un poco inciertas las probabilidades determinadas por el análisis. Pero casi siempre basta con saber si la probabilidad de que los errores de los resultados obtenidos estén comprendidos dentro de límites estrechos se aproxima mucho a la unidad; y cuando no es así, basta con saber hasta qué punto deben multiplicarse las observaciones para obtener una probabilidad tal que no quede ninguna duda razonable respecto a la exactitud de los resultados.