Continuando así, vemos en general que si multiplicamos V por la n-ésima potencia de T, tendremos el coeficiente de la potencia x-ésima de t en el producto de V por la n-ésima potencia de T colocando ante la función primitiva el carácter δ con n como exponente.
Supongamos, por ejemplo, que T sea la unidad dividida por t; entonces, en el producto de V por T, el coeficiente de la potencia x-ésima de t será el coeficiente de la potencia mayor en una unidad en V; este coeficiente en el producto de V por la potencia n-ésima de T será entonces la función primitiva en la cual x está aumentada en n unidades.
Consideremos ahora una nueva función Z de t, desarrollada como V y T según las potencias de t; designemos por el carácter Δ colocado ante la función primitiva el coeficiente de la potencia x-ésima de t en el producto de V por Z; este coeficiente en el producto de V por la potencia n-ésima de Z se expresará por el carácter Δ afectado por el exponente n y colocado ante la función primitiva de x.
Si, por ejemplo, Z es igual a la unidad dividida por t menos uno, el coeficiente de la potencia x-ésima de t en el producto de V por Z será el coeficiente de la potencia x + 1 de t en V menos el coeficiente de la potencia x-ésima. Será entonces la diferencia finita de la función primitiva del índice x. Entonces el carácter Δ indica una diferencia finita de la función primitiva en el caso en que el índice varía en una unidad; y la potencia n-ésima de este carácter colocada delante de la función primitiva indicará la diferencia finita n-ésima de esta función.
Si suponemos que T sea la unidad dividida por t, tendremos T igual al binomio Z + 1. El producto de V por la potencia n-ésima de T será entonces igual al producto de V por la potencia n-ésima del binomio Z + 1. Desarrollando esta potencia en la razón de las potencias de Z, el producto de V por los diversos términos de este desarrollo serán las funciones discriminantes de estos mismos términos en las cuales sustituimos en lugar de las potencias de Z las diferencias finitas correspondientes de la función primitiva del índice.
Ahora bien, el producto de V por la n-ésima potencia de T es la función primitiva en la que el índice x está aumentado en n unidades; volviendo a pasar de las funciones discriminantes a sus coeficientes, tendremos esta función primitiva así aumentada igual al desarrollo de la n-ésima potencia del binomio Z + 1, con la condición de que en este desarrollo sustituyamos en lugar de las potencias de Z las diferencias correspondientes de la función primitiva y que multipliquemos el término independiente de estas potencias por la función primitiva. Obtendremos así la función primitiva cuyo índice está aumentado en cualquier número n por medio de sus diferencias.
Suponiendo que T y Z tienen siempre los valores precedentes, tendremos Z igual al binomio T - 1; el producto de V por la potencia n-ésima de Z será entonces igual al producto de V por el desarrollo de la potencia n-ésima del binomio T - 1.
Repasando de las funciones discriminantes a sus coeficientes como acaba de hacerse, tendremos la diferencia n-ésima de la función primitiva expresada por el desarrollo de la potencia n-ésima del binomio T - 1, en el cual sustituimos las potencias de T por esta misma función cuyo índice está aumentado por el exponente de la potencia, y el término independiente de t, que es la unidad, por la función primitiva, lo que da esta diferencia por medio de los términos consecutivos de dicha función.
Colocando δ antes de la función primitiva que expresa la derivada de esta función, que multiplica la potencia x de t en el producto de V por T , y Δ expresando la misma derivada en el producto de V por Z , somos conducidos