Estas transiciones de lo positivo a lo negativo y de lo real a lo imaginario, de las que fui el primero en hacer uso, me han conducido además a los valores de muchas integrales definidas singulares, que en consecuencia he demostrado directamente. Podemos considerar entonces estas transiciones como un medio de descubrimiento paralelo a la inducción y a la analogía, empleados durante mucho tiempo por los geómetras, al principio con extrema reserva, después con entera confianza, ya que un gran número de ejemplos ha justificado su uso. Entre tanto, siempre es necesario confirmar mediante demostraciones directas los resultados obtenidos por estos diversos medios.
He denominado al conjunto de los métodos precedentes Cálculo de las Funciones Discriminantes; este cálculo sirve de base para el trabajo que he publicado bajo el título de Teoría Analítica de las Probabilidades.
Está conectado con la idea simple de indicar las multiplicaciones repetidas de una cantidad por sí misma, o sus potencias enteras y positivas, escribiendo hacia la parte superior de la letra que la expresa los números que señalan los grados de estas potencias.
Esta notación, empleada por Descartes en su Geometría y adoptada por lo general desde la publicación de esta importante obra, es una pequeña cosa, especialmente si se la compara con la teoría de las curvas y de las funciones variables mediante la cual este gran geómetra ha establecido los fundamentos del cálculo moderno.
Pero como el lenguaje del análisis, el más perfecto de todos, es en sí mismo un poderoso instrumento de descubrimientos, sus notaciones, en especial cuando son necesarias y felizmente concebidas, son otros tantos gérmenes de nuevos cálculos. Esto se hace perceptible mediante este ejemplo.
Wallis, que en su obra titulada Arithmetica Infinitorum, una de las que más han contribuido al progreso del análisis, se ha interesado especialmente en seguir el hilo de la inducción y la analogía, consideró que si se divide el exponente de una letra por dos, tres, etc., el cociente será, según la notación cartesiana, y cuando la división es posible, el exponente de la raíz cuadrada, cúbica, etc., de la cantidad que representa la letra elevada al exponente del dividendo. Extendiendo por analogía este resultado al caso en que la división es imposible, consideró una cantidad elevada a un exponente fraccionario como la raíz del grado indicado por el denominador de esta fracción —a saber, de la cantidad elevada a una potencia indicada por el numerador—.
Observó entonces que, según la notación cartesiana, la multiplicación de dos potencias de una misma letra equivale a sumar sus exponentes, y que su división equivale a restar el exponente de la potencia del divisor del de la potencia del dividendo, cuando el segundo de estos exponentes es mayor que el primero.
Wallis extendió este resultado al caso en que el primer exponente es igual o mayor que el segundo, lo que hace que la diferencia sea cero o negativa. Supuso entonces que un exponente negativo indica la unidad dividida por la cantidad elevada al mismo exponente tomado positivamente.
Estas observaciones lo llevaron a integrar de manera general los diferenciales monómicos, de donde infirió las integrales definidas de un tipo particular de diferenciales binómicos cuyo exponente es un número entero positivo.
La observación pues de la ley de los números que expresan estas integrales, una serie de interpolaciones y felices inducciones donde se percibe el germen del cálculo de integrales definidas que tanto ha ejercitado a los geómetras y que es uno de los fundamentos de mi nueva Teoría de las Probabilidades, le dio la razón del área del círculo al cuadrado de su diámetro expresada por un producto infinito, el cual, al detenerlo, confina esta razón a límites cada vez más convergentes; este es uno de los resultados más singulares en el análisis.