por lo que precede a este resultado general: cualquiera que sea la función de la variable t representada por T y Z , podemos, en el desarrollo de todas las ecuaciones idénticas susceptibles de ser formadas entre estas funciones, sustituir los caracteres δ y Δ en lugar de T y Z , con la condición de que escribamos la función primitiva del índice en serie con las potencias y con los productos de las potencias de los caracteres, y de que multipliquemos por esta función los términos independientes de estos caracteres.
Por medio de este resultado general podemos transformar cualquier potencia determinada de una diferencia de la función primitiva del índice x, en la cual x varía de uno en uno, en una serie de diferencias de la misma función en la cual x varía en un cierto número de unidades, y recíprocamente.
Supongamos que T sea la i-ésima potencia de la unidad dividida por t - 1, y que Z sea siempre la unidad dividida por t - 1; entonces el coeficiente de la x-ésima potencia de t en el producto de V por T será el coeficiente de la potencia x + i de t en V menos el coeficiente de la x-ésima potencia de t; será entonces la diferencia finita de la función primitiva del índice x en la cual variamos este índice en el número i.
Es fácil ver que T es igual a la diferencia entre la i-ésima potencia del binomio Z + 1 y la unidad. La n-ésima potencia de T es igual a la n-ésima potencia de esta diferencia. Si en esta igualdad sustituimos en lugar de T y Z los caracteres δ y Δ, y tras el desarrollo colocamos al final de cada término la función primitiva del índice x, obtendremos la n-ésima diferencia de esta función en la cual x varía en i unidades expresada mediante una serie de diferencias de la misma función en la cual x varía de uno en uno.
Esta serie no es sino una transformación de la diferencia que expresa y que es idéntica a ella; pero en transformaciones semejantes radica el poder del análisis.
La generalidad del análisis nos permite suponer en esta expresión que n es negativo. Entonces las potencias negativas de δ y Δ indican las integrales.
En efecto, siendo la diferencia n-ésima de la función primitiva que tiene por función discriminante el producto de V por la potencia n-ésima del binomio dividido por t menos la unidad, la función primitiva que es la integral n-ésima de esta diferencia tiene por función discriminante la de la misma diferencia multiplicada por la potencia n-ésima tomada negativamente del binomio dividido por t menos uno, potencia a la cual corresponde la misma potencia del carácter Δ; esta potencia indica entonces una integral del mismo orden, variando el índice x en una unidad; e igualmente las potencias negativas de δ indican las integrales variando x en i unidades.
Vemos, pues, de la manera más clara y sencilla la racionalidad del análisis observado entre las potencias positivas y las diferencias, y entre las potencias negativas y las integrales.
Si la función indicada por δ colocada antes de la función primitiva es cero, tendremos una ecuación de diferencias finitas, y V será la función discriminante de su integral.
Para obtener esta función discriminante observaremos que en el producto de V por T todas las potencias de t deben desaparecer, excepto las potencias inferiores al orden de la ecuación de diferencias; V es entonces igual a una fracción cuyo denominador es T y cuyo numerador es un polinomio en el cual la potencia más alta de t es menor en una unidad que el orden de la
ecuación de diferencias. Los coeficientes arbitrarios de las diversas potencias de t en este polinomio, incluida la potencia cero, estarán determinados por otros tantos valores de la función primitiva del índice cuando