95.

De acuerdo con el segundo principio de la termodinámica, la entropía total de la radiación de una distribución de energía bastante arbitraria debe permanecer constante en una compresión adiabática reversible.

Ahora podemos ofrecer una prueba directa de esta proposición basándonos en la ecuación [eqn:(119)] (119). Para dicho proceso, según la ecuación [eqn:(113)] (113), se cumple la relación:

$$\begin{gathered} \delta S\&={\int }_0^{\infty }d\nu (V\delta 𝗌+𝗌\delta V) \\ \&={\int }_0^{\infty }d\nu (V\frac{\partial 𝗌}{\partial 𝗎}\delta 𝗎+𝗌\delta V).\mathrm{\backslash Label}[eqn](120)\text{upshape (120)} \end{gathered}$$

Aquí, como en todas partes, $𝗌$ debe considerarse como una función de $𝗎$ y $\nu$, y $\delta \nu =0$.

Ahora bien, para un cambio de estado adiabático reversible se cumple la relación [eqn:(95)] (95). Tomemos de esta última el valor de $\delta 𝗎$ y sustituyámoslo. Entonces tenemos $\delta S=\delta V{\int }_0^{\infty }d\nu \{\frac{\partial 𝗌}{\partial 𝗎}(\frac{\nu d𝗎}{3d\nu }-𝗎)+𝗌\}.$ En esta ecuación, el coeficiente diferencial de $𝗎$ con respecto a $\nu$ se refiere a la distribución espectral de energía asignada originalmente de forma arbitraria y, por tanto, a diferencia de los coeficientes diferenciales parciales, se denota con la letra $d$.

Ahora el diferencial total es: $\frac{d𝗌}{d\nu }=\frac{\partial 𝗌}{\partial 𝗎}\frac{d𝗎}{d\nu }+\frac{\partial 𝗌}{\partial \nu }.$ Por lo tanto, mediante sustitución: $\delta S=\delta V{\int }_0^{\infty }d\nu \{\frac{\nu }{3}(\frac{d𝗌}{d\nu }-\frac{\partial 𝗌}{\partial \nu })-𝗎\frac{\partial 𝗌}{\partial 𝗎}+𝗌\}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](121)\text{upshape (121)}$

Pero de la ecuación [eqn:(119)] (119) obtenemos por derivación $\frac{\partial 𝗌}{\partial 𝗎}=\frac{1}{\nu }\dot{F}\left(\frac{c^3𝗎}{{\nu }^3}\right)\text{y}\frac{\partial 𝗌}{\partial \nu }=\frac{2\nu }{c^3}F\left(\frac{c^3𝗎}{{\nu }^3}\right)-\frac{3𝗎}{{\nu }^2}\dot{F}\left(\frac{c^3𝗎}{{\nu }^3}\right).\mathrm{\backslash Label}[eqn](122)\text{upshape (122)}$ De aquí que $\nu \frac{\partial 𝗌}{\partial \nu }=2𝗌-3𝗎\frac{\partial 𝗌}{\partial 𝗎}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](123)\text{upshape (123)}$

Al sustituir esto en [eqn:(121)] (121), obtenemos $\delta S=\delta V{\int }_0^{\infty }d\nu (\frac{\nu }{3}\frac{d𝗌}{d\nu }+\frac{1}{3}𝗌)\mathrm{\backslash Label}[eqn](124)\text{upshape (124)}$ o, $\delta S=\frac{\delta V}{3}[\nu 𝗌]{\mathrm{\backslash Strut}}_0^{\infty }=0,$ como debe ser. Que el producto $\nu 𝗌$ también se anule para $\nu =\infty$ puede demostrarse tal como se hizo en la [sect:83.] secc. 83 para el producto $\nu 𝗎$.