20. El Estado de la Radiación

Cuando las intensidades principales ${𝖪}_{\nu }$ y ${𝖪}_{\nu }^{\prime }$ de todos los rayos monocromáticos se dan en todos los puntos del medio y para todas las direcciones, el estado de radiación se conoce en todos los aspectos y se puede responder a todas las cuestiones relativas al mismo.

Demostraremos esto mediante una o dos aplicaciones a casos especiales.

Hallemos primero la cantidad de energía que se irradia a través de cualquier elemento de área $d\sigma$ hacia cualquier otro elemento $d{\sigma }^{\prime }$. La distancia $r$ entre los dos elementos puede considerarse grande en comparación con las dimensiones lineales de los elementos $d\sigma$ y $d{\sigma }^{\prime }$, pero aún así lo suficientemente pequeña como para que no se absorba ni disperse una cantidad apreciable de radiación a lo largo de ella. Esta condición es, por supuesto, superfluas para los medios diatermanos.

Desde cualquier punto determinado de $d\sigma$ pasan rayos hacia todos los puntos de $d{\sigma }^{\prime }$. Estos rayos forman un cono cuyo vértice se encuentra en $d\sigma$ y cuyo ángulo sólido es $d\Omega =\frac{d{\sigma }^{\prime }\cos ({𝗇}^{\prime },r)}{r^2}$

donde ${𝗇}^{\prime }$ denota la normal de $d{\sigma }^{\prime }$ y el ángulo $({𝗇}^{\prime },r)$ debe tomarse como un ángulo agudo.

Este valor de $d\Omega$ es, despreciando cantidades pequeñas de orden superior, independiente de la posición particular del vértice del cono sobre $d\sigma$.

Si denotamos además la normal a $d\sigma$ por $𝗇$, el ángulo $\theta$ de [eqn:(14)] (14) será el ángulo $(𝗇,r)$ y, por tanto, a partir de la expresión [eqn:(6)] (6), se encuentra que la energía de radiación requerida es: $K·\frac{d\sigma d{\sigma }^{\prime }\cos (𝗇,r)\cos ({𝗇}^{\prime },r)}{r^2}·dt.\mathrm{\backslash Label}[eqn](17)\text{upshape (17)}$ Para radiación plana polarizada monocromática de frecuencia $\nu$, la energía será, según la ecuación [eqn:(11)] (11), ${𝖪}_{\nu }d\nu ·\frac{d\sigma d{\sigma }^{\prime }\cos (𝗇,r)\cos ({𝗇}^{\prime },r)}{r^2}·dt.\mathrm{\backslash Label}[eqn](18)\text{upshape (18)}$

El tamaño relativo de los dos elementos $d\sigma$ y $d{\sigma }^{\prime }$ puede tener cualquier valor que sea. Se puede suponer que son del mismo o de un orden de magnitud diferente, siempre que se siga cumpliendo la condición de que $r$ es grande en comparación con las dimensiones lineales de cada uno de ellos.

Si elegimos $d\sigma$ pequeño en comparación con $d{\sigma }^{\prime }$, los rayos divergen de $d\sigma$ a $d{\sigma }^{\prime }$, mientras que convergen de $d\sigma$ a $d{\sigma }^{\prime }$ si elegimos $d\sigma$ grande en comparación con $d{\sigma }^{\prime }$.