74.

Para empezar, consideramos el cambio de color que experimenta un rayo monocromático por reflexión en el reflector, que se 5 mueve con una velocidad infinitesimal. Para este propósito consideramos primero el caso de un rayo que incide normalmente desde abajo sobre el reflector y, por tanto, se refleja normalmente hacia abajo. Sea el plano $A$ ([fig:5]Fig. 5) la posición del reflector en el tiempo $t$, y el plano $A^{\prime }$ la posición en el tiempo $t+\delta t$, donde la distancia $A{A}^{\prime }$ es igual a $v\delta t$, denotando $v$ la velocidad del reflector. Supongamos ahora que se coloca un plano estacionario $B$ paralelo a $A$ a una distancia adecuada y denotemos por $\lambda$ la longitud de onda del rayo incidente en el reflector y por ${\lambda }^{\prime }$ la longitud de onda del rayo reflejado en él. Entonces, en un tiempo $t$ hay en el intervalo $AB$, en el vacío que contiene la radiación, ${\displaystyle \frac{AB}{\lambda }}$ ondas del rayo incidente y ${\displaystyle \frac{AB}{{\lambda }^{\prime }}}$ ondas del rayo reflejado, como puede verse, por ejemplo, imaginando la intensidad del campo eléctrico representada en los diferentes puntos de cada uno de los dos rayos en el tiempo $t$ en forma de una curva sinusoidal. Contando tanto el rayo incidente como el reflejado, hay en el tiempo $t$ $AB(\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{{\lambda }^{\prime }})$ ondas en el intervalo entre $A$ y $B$. Dado que este es un número grande, no importa si el número es un entero o no.

Del mismo modo, en el instante $t+\delta t$, cuando el reflector se encuentra en $A^{\prime }$, hay en total $A^{\prime }B(\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{{\lambda }^{\prime }})$ ondas en el intervalo entre $A^{\prime }$ y $B$.

El último número será menor que el primero, puesto que en la distancia más corta $A^{\prime }B$ cabe un número menor de ondas de ambas clases que en la distancia más larga $AB$. Las ondas restantes deben haber sido expulsadas en el tiempo $\delta t$ del espacio comprendido entre el plano estacionario $B$ y el reflector móvil, y esto debe haber tenido lugar a través del plano $B$ hacia abajo; pues de ningún otro modo podría desaparecer una onda del espacio considerado.

Ahora $\nu \delta t$ ondas pasan en el tiempo $\delta t$ a través del plano estacionario $B$ en dirección ascendente y ${\nu }^{\prime }\delta t$ ondas en dirección descendente; por tanto, tenemos para la diferencia

$({\nu }^{\prime }-\nu )\delta t=(AB-A^{\prime }B)(\frac{1}{\lambda }+\frac{1}{{\lambda }^{\prime }})$

o bien, puesto que $AB-A^{\prime }B=v\delta t,$ y

$$\begin{gathered} \lambda =\frac{c}{\nu }{\lambda }^{\prime }=\frac{c}{{\nu }^{\prime }} \\ {\nu }^{\prime }=\frac{c+v}{c-v}\nu \end{gathered}$$

o, como $v$ es infinitamente pequeño en comparación con $c$, ${\nu }^{\prime }=\nu (1+\frac{2v}{c}).$