81.

Para calcular la energía radiante que entra en el intervalo $(ν, d ν)$ en el tiempo $δ t$ debido a la reflexión en el reflector en movimiento, los rayos que inciden en el reflector con diferentes ángulos de incidencia deben considerarse por separado. Dado que en el caso de un $v$ positivo, la frecuencia aumenta por la reflexión, los rayos que deben considerarse tienen, en el tiempo $t$ , la frecuencia $ν_{1} < ν$ . Si consideramos ahora en el tiempo $t$ un haz monocromático de frecuencia $(ν_{1}, d ν_{1})$ , que incide en el reflector con un ángulo de incidencia $θ$ , una condición necesaria y suficiente para su entrada, por reflexión, en el intervalo $(ν, d ν)$ es $ν = ν_{1} (1 + \frac{2 v \cos θ}{c}) y d ν = d ν_{1} (1 + \frac{2 v \cos θ}{c}) .$ Estas relaciones se obtienen sustituyendo $ν_{1}$ y $ν$ respectivamente en las ecuaciones [eqn:(83)] (83) y [eqn:(86)] (86) en lugar de las frecuencias antes y después de la reflexión $ν$ y $ν^{'}$ .

La energía que este cono de rayos transporta hacia el intervalo $(ν_{1}, d ν)$ en el tiempo $δ t$ se obtiene a partir de [eqn:(89)] (89), sustituyendo asimismo $ν_{1}$ por $ν$ . Es $2 𝖪_{ν_{1}} d σ \cos θ d Ω d ν_{1} (1 + \frac{2 v \cos θ}{c}) δ t = 2 𝖪_{ν_{1}} d σ \cos θ d Ω d ν δ t .$ Ahora bien, tenemos $𝖪_{ν_{1}} = 𝖪_{ν} + (ν_{1} - ν) \frac{\partial 𝖪}{\partial ν} + \dots$ donde supondremos que $\frac{\partial 𝖪}{\partial ν}$ es finito.

Por consiguiente, despreciando las cantidades pequeñas de orden superior, $𝖪_{ν_{1}} = 𝖪_{ν} - \frac{2 ν v \cos θ}{c} \frac{\partial 𝖪}{\partial ν} .$ Así, la energía requerida se convierte en $2 d σ (𝖪_{ν} - \frac{2 ν v \cos θ}{c} \frac{\partial 𝖪}{\partial ν}) \sin θ \cos θ d θ d ϕ d ν δ t,$ e integrando esta expresión como antes, con respecto a $d σ$ , $ϕ$ y $θ$ , la energía radiante total que entra en el intervalo $(ν, d ν)$ en el tiempo $δ t$ llega a ser $2 π F (𝖪_{ν} - \frac{4}{3} \frac{ν v}{c} \frac{\partial 𝖪}{\partial ν}) d ν δ t . \Label [e q n] (93) \upshape (93)$