148.

Consideremos un oscilador que acaba de completar una emisión y que ha perdido, en consecuencia, toda su energía de vibración. Si contamos el tiempo $t$ a partir de este instante, entonces para $t=0$ tenemos $f=0$ y ${\displaystyle \frac{df}{dt}}=0$, y la vibración tiene lugar de acuerdo con la ecuación [eqn:(233)] (233). Escribamos ${⋿}_z$ como en [eqn:(149)] (149) en forma de serie de Fourier: ${⋿}_z={\sum }_{n=1}^{n=\infty }[A_n\cos \frac{2\pi nt}{𝖳}+B_n\sin \frac{2\pi nt}{𝖳}],\mathrm{\backslash Label}[eqn](235)\text{upshape (235)}$ donde $𝖳$ puede elegirse muy grande, de modo que para todos los tiempos $t$ considerados $t<𝖳$. Como suponemos que la radiación es estacionaria, los coeficientes constantes $A_n$ y $B_n$ dependen de los números ordinales $n$ de una manera totalmente irregular, según la hipótesis de la radiación natural ([sect:117.] Sec. 117). La vibración parcial con el número ordinal $n$ tiene la frecuencia $\nu$, donde $\omega =2\pi \nu =\frac{2\pi n}{𝖳},\mathrm{\backslash Label}[eqn](236)\text{upshape (236)}$ mientras que para la frecuencia ${\nu }_0$ del periodo natural del oscilador ${\omega }_0=2\pi {\nu }_0=\sqrt{\frac{K}{L}}.$

Teniendo en cuenta la condición inicial, obtenemos ahora como solución de la ecuación diferencial [eqn:(233)] (233) la expresión $f={\sum }_1^{\infty }[a_n(\cos \omega t-\cos {\omega }_{0}t)+b_n(\sin \omega t-\frac{\omega }{{\omega }_0}\sin {\omega }_{0}t)],\mathrm{\backslash Label}[eqn](237)\text{upshape (237)}$ donde $a_n=\frac{A_n}{L({\omega }_0^2-{\omega }^2)},b_n=\frac{B_n}{L({\omega }_0^2-{\omega }^2)}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](238)\text{upshape (238)}$

Esto representa la vibración del oscilador hasta el instante en que ocurre la siguiente emisión.

Los coeficientes $a_n$ y $b_n$ alcanzan sus valores máximos cuando $\omega$ es casi igual a ${\omega }_0$. (El caso $\omega ={\omega }_0$ puede excluirse suponiendo desde el principio que ${\nu }_0𝖳$ no es un entero.)