151.

Calculemos ahora las propiedades más importantes del estado de equilibrio estadístico así producido. De los $N$ osciladores situados en el campo de radiación, el número de aquellos cuya energía en el tiempo $t$ se encuentra en el intervalo entre $U = n ϵ + ρ$ y $U + d U = n ϵ + ρ + d ρ$ puede representarse por $N R_{n, ρ} d ρ, \Label [e q n] (253) \upshape (253)$ donde $R$ depende de manera definida del número entero $n$ y de la cantidad $ρ$ , que varía de forma continua entre $0$ y $ϵ$ .

Después de un tiempo $d t = \frac{d ρ}{a}$ todos los osciladores habrán visto su energía incrementada en $d ρ$ y, por consiguiente, ahora se encontrarán todos fuera del intervalo de energía considerado.

Por otra parte, durante el mismo tiempo $d t$ , todos los osciladores cuya energía en el tiempo $t$ estaba entre $n ϵ + ρ - d ρ$ y $n ϵ + ρ$ habrán entrado en dicho intervalo. El número de todos estos osciladores es, de acuerdo con la notación utilizada arriba, $N R_{n, ρ - d ρ} d ρ . \Label [e q n] (254) \upshape (254)$

De ahí que esta expresión dé el número de osciladores que se encuentran en el tiempo $t + d t$ en el intervalo considerado.

Ahora bien, puesto que suponemos que nuestro sistema se encuentra en un estado de equilibrio estadístico, la distribución de energía es independiente del tiempo y, por consiguiente, las expresiones [eqn:(253)] (253) y [eqn:(254)] (254) son iguales, es decir, $R_{n, ρ - d ρ} = R_{n, ρ} = R_{n} . \Label [e q n] (255) \upshape (255)$ Por lo tanto, $R_{n}$ no depende de $ρ$ .

Esta consideración debe, sin embargo, modificarse para el caso especial en el que $ρ = 0$ . Pues, en ese caso, de los osciladores, en número de $N = R_{n - 1} d ρ$ , cuya energía en el tiempo $t$ estaba entre $n ϵ$ y $n ϵ - d ρ$ , durante el tiempo $d t = \frac{d ρ}{a}$ algunos entran en el intervalo de energía (desde $U = n ϵ$ hasta $U + d U = n ϵ + d ρ$ ) considerado; pero no todos entran necesariamente, ya que un oscilador puede posiblemente emitir toda su energía al pasar por el valor $U = n ϵ$ . Si la probabilidad de que tenga lugar la emisión se denota por $η$ ( $< 1$ ), el número de osciladores que pasan a través del valor crítico sin emitir será $N R_{n - 1} (1 - η) d ρ, \Label [e q n] (256) \upshape (256)$ y al igualar [eqn:(256)] (256) y [eqn:(253)] (253) se sigue que $R_{n} = R_{n - 1} (1 - η),$ y por tanto, por reducción sucesiva, $R_{n} = R_{0} (1 - η)^{n} . \Label [e q n] (257) \upshape (257)$

Para calcular $R_{0}$ repetimos el proceso anterior para el caso especial en que $n = 0$ y $ρ = 0$ . En este caso, el intervalo de energía en cuestión se extiende desde $U = 0$ hasta $d U = d ρ$ . En este intervalo entran en el tiempo $d t = \frac{d ρ}{a}$ todos los osciladores que efectúan una emisión durante este tiempo, a saber, aquellos cuya energía en el tiempo $t$ estaba entre $ϵ - d ρ$ y $ϵ$ , $2 ϵ - d ρ$ y $2 ϵ$ , $3 ϵ - d ρ$ y $3 ϵ \dots$ . Los números de estos osciladores son, respectivamente, $N R_{0} d ρ, N R_{1} d ρ, N R_{2} d ρ,$ por lo que su suma multiplicada por $η$ da el número deseado de osciladores emisores, a saber, $N η (R_{0} + R_{1} + R_{2} + \dots) d ρ, \Label [e q n] (258) \upshape (258)$ y este número es igual al de los osciladores en el intervalo de energía entre $0$ y $d ρ$ en el tiempo $t + d t$ , que es $N R_{0} d ρ$ . De aquí se sigue que $R_{0} = η (R_{0} + R_{1} + R_{2} + \dots) . \Label [e q n] (259) \upshape (259)$

Ahora bien, de acuerdo con [eqn:(253)] (253), el número total de todos los osciladores se obtiene integrando con respecto a $ρ$ desde $0$ hasta $ϵ$ , y sumando con respecto a $n$ desde $0$ hasta $\infty$ . Por lo tanto $N = N \sum_{n = 0}^{n = \infty} \int_{0}^{ϵ} R_{n, ρ} d ρ = N \sum R_{n} ϵ \Label [e q n] (260) \upshape (260)$ y $\sum R_{n} = \frac{1}{ϵ} . \Label [e q n] (261) \upshape (261)$ De aquí obtenemos, a partir de [eqn:(257)] (257) y [eqn:(259)] (259), $R_{0} = \frac{η}{ϵ}, R_{n} = \frac{η}{ϵ} (1 - η)^{n} . \Label [e q n] (262) \upshape (262)$

160