186.

El principio de aumento de entropía requiere que la suma del cambio de entropía [eqn:(348)] (348) del campo de radiación y el cambio de entropía [eqn:(349)] (349) del sistema de osciladores sea siempre positiva, o cero en el caso límite. Que esta condición se satisface de hecho lo probaremos solo para el caso especial en que todos los rayos que inciden sobre los osciladores estén despolarizados, es decir, cuando ${𝖪}^{\prime }=𝖪$.

En este caso tenemos a partir de [eqn:(147)] (147) y [sect:185.] Sec. 185. $\left.

$$\begin{gathered} \&{𝖪}_0 \\ \&{𝖪}_0^{\prime } \end{gathered}$$

\right} = \tfrac{1}{2} {2\mathsf{K} + \beta \sin^{2} \theta(\mathsf{K}{e} - \mathsf{K}) ± \beta \sin^{2} \theta(\mathsf{K})},$ y por tanto ${𝖪}_0=𝖪+\beta {\sin }^2\theta ({𝖪}_e-𝖪),{𝖪}_0^{\prime }=𝖪.$ El cambio de entropía [eqn:(348)] (348) del campo de radiación se convierte en $dt\Delta \nu \int qd\Omega \{𝖫({𝖪}_o)-𝖫(𝖪)\}=dt\Delta \nu \int qd\Omega \beta {\sin }^2\theta ({𝖪}_e-𝖪)\frac{d𝖫(𝖪)}{d𝖪}$ o, según [eqn:(338)] (338) y [eqn:(278)] (278), $=\frac{\pi kNdt}{hc\nu L}\int d\Omega {\sin }^2\theta ({𝖪}_e-𝖪)\log (1+\frac{h{\nu }^3}{c^2𝖪}).$} - \mathsf{K

Al añadir a esto el cambio de entropía [eqn:(349)] (349) del sistema de osciladores y teniendo en cuenta [eqn:(320)] (320), se encuentra que el incremento total de entropía en el tiempo $dt$ es igual a la expresión $\Squeeze[0.95]{$\displaystyle\frac{\pi kN\, dt}{ch\nu L} \int d\Omega \sin^{2} \theta \biggl{ \mathsf{K} \sum_{1}^{\infty} (w_{n} - \zeta w_{n-1}) \log w_{n} + (\mathsf{K}_{e} - \mathsf{K}) \log\biggl(1 + \frac{h\nu^{3}}{c^{2}\mathsf{K}}\biggr) \biggr}$\}$ donde $\zeta =1-\eta .\mathrm{\backslash Label}[eqn](350)\text{upshape (350)}$

Ahora debemos demostrar que la expresión

$$\begin{gathered} F=\int d\Omega {\sin }^2\theta \backslash \{𝖪{\sum }_1^{\infty }(w_n-\zeta w_{n-1})\log w_n \\ +({𝖪}_e-𝖪)\log (1+\frac{h{\nu }^3}{c^2𝖪})\backslash \}\mathrm{\backslash Label}[eqn](351)\text{upshape (351)} \end{gathered}$$

es siempre positiva y para ese fin establecemos una vez más el significado de las cantidades involucradas. $𝖪$ es una función positiva arbitraria de los ángulos polares $\theta$ y $\varphi$. La fracción propia positiva $\zeta$ está dada, según [eqn:(350)] (350), [eqn:(265)] (265) y [eqn:(320)] (320), por $\frac{\zeta }{1-\zeta }=\frac{3c^2}{8\pi h{\nu }^3}\int 𝖪{\sin }^2\theta d\Omega .\mathrm{\backslash Label}[eqn](352)\text{upshape (352)}$ Las cantidades $w_1$, $w_2$, $w_3,\dots$ son cualesquiera fracciones propias positivas que, según [eqn:(167)] (167), satisfacen la condición ${\sum }_1^{\infty }{w}_n=1\mathrm{\backslash Label}[eqn](353)\text{upshape (353)}$ mientras que, según [eqn:(342)] (342), $w_0=\frac{1-\zeta }{\zeta }.\mathrm{\backslash Label}[eqn](354)\text{upshape (354)}$ Finalmente, a partir de [eqn:(336)] (336) tenemos ${𝖪}_e=\frac{h{\nu }^3\zeta }{c^2}{\sum }_1^{\infty }n{w}_n.\mathrm{\backslash Label}[eqn](355)\text{upshape (355)}$