30.

Sea un cierto elemento de volumen del haz cónico limitado por dos secciones transversales situadas a distancias iguales a $r_{0}$ (de longitud arbitraria) y $r_{0} + d r_{0}$ , respectivamente, del vértice $O$ . El volumen estará representado por $d r_{0} \cdot r_{0}^{2} d Ω$ . Este emite en la unidad de tiempo hacia el plano focal $d σ$ en $O$ una cierta cantidad $E$ de energía de radiación monocromática plana polarizada. $E$ puede obtenerse a partir de la [eqn:(1)] (1) poniendo $d t = 1, d τ = d r_{0} r_{0}^{2} d Ω, d Ω = \frac{d σ}{r_{0}^{2}}$ y omitiendo el factor numérico $2$ . Obtenemos así $E = d r_{0} \cdot d Ω d σ ϵ_{ν} d ν . \Label [e q n] (31) \upshape (31)$

De la energía $E$ , sin embargo, solo una fracción $E_{0}$ llega a $O$ , ya que en cada elemento infinitesimal de distancia $s$ que recorre antes de llegar a $O$ , la fracción $(α_{ν} + β_{ν}) s$ se pierde por absorción y dispersión. Sea $E_{r}$ la parte de $E$ que llega a una sección transversal a una distancia $r$ ( $< r_{0}$ ) desde $O$ . Entonces, para una distancia pequeña $s = d r$ tenemos $E_{r + d r} - E_{r} = E_{r} (α_{ν} + β_{ν}) d r,$ o bien $\frac{d E_{r}}{d r} = E_{r} (α_{ν} + β_{ν}),$ y, por integración, $E_{r} = E e^{(α_{ν} + β_{ν}) (r - r_{0})}$ puesto que, para $r = r_{0}$ , $E_{r} = E$ viene dada por la ecuación [eqn:(31)] (31). A partir de esto, haciendo $r = 0$ , se encuentra que la energía emitida por el elemento de volumen en $r_{0}$ que llega a $O$ es $E_{0} = E e^{- (α_{ν} + β_{ν}) r_{0}} = d r_{0} d Ω d σ ϵ_{ν} e^{- (α_{ν} + β_{ν}) r_{0}} d ν . \Label [e q n] (32) \upshape (32)$ Todos los elementos de volumen de los haces combinados producen mediante su emisión una cantidad de energía que llega a $d σ$ igual a $d Ω d σ d ν ϵ_{ν} \int_{0}^{\infty} d r_{0} e^{- (α_{ν} + β_{ν}) r_{0}} = d Ω d σ \frac{ϵ_{ν}}{α_{ν} + β_{ν}} d ν . \Label [e q n] (33) \upshape (33)$