187.

Para proporcionar la demostración requerida, mostraremos que el valor mínimo que la función $F$ puede asumir es positivo o cero. Con este fin, consideramos primero aquella función positiva, $𝖪$, de $\theta$ y $\varphi$ que, con valores fijos de $\zeta$, $w_1$, $w_2$, $w_3,\dots$ y ${𝖪}_e$, hará que $F$ sea un mínimo. La condición necesaria para esto es $\delta F=0$, donde según [eqn:(352)] (352) $\int \delta 𝖪{\sin }^2\theta d\Omega =0.$ Esto da, considerando que las cantidades $w$ y $\zeta$ no dependen de $\theta$ y $\varphi$, como condición necesaria para el mínimo, $\delta F=0=\int d\Omega {\sin }^2\theta \delta 𝖪\{-\log (1+\frac{h{\nu }^3}{c^2𝖪})-\frac{{𝖪}_e-𝖪}{{\displaystyle \frac{c^2𝖪}{h{\nu }^3}}+1}·\frac{1}{𝖪}\}$ y de ello se deduce, por lo tanto, que la cantidad entre corchetes, y por consiguiente también la propia $𝖪$, es independiente de $\theta$ y $\varphi$. Que en este caso $F$ realmente tiene un valor mínimo se ve fácilmente formando la segunda variación ${\delta }^{2}F=\int d\Omega {\sin }^2\theta \delta 𝖪\delta \{-\log (1+\frac{h{\nu }^3}{c^2𝖪})-\frac{{𝖪}_e-𝖪}{{\displaystyle \frac{c^2𝖪}{h{\nu }^3}}+1}·\frac{1}{𝖪}\}$ la cual, mediante cálculo directo, puede verse que es positiva bajo todas circunstancias.

Para formar el valor mínimo de $F$ calculamos el valor de $𝖪$, el cual, según la [eqn:(352)] (352), es independiente de $\theta$ y $\varphi$. De esto se deduce, teniendo en cuenta la [eqn:(319a)] (319a), que $𝖪=\frac{h{\nu }^3}{c^2}\frac{\zeta }{1-\zeta }$

y, sustituyendo también ${𝖪}_e$ de la [ecuación:(355)] (355),

$F=\frac{8\pi h{\nu }^3}{3c^2}\frac{\zeta }{1-\zeta }{\sum }_1^{\infty }(w_n-\zeta w_{n-1})\log w_n-[(1-\zeta )n-1]w_n\log \zeta .$