Una confirmación interesante adicional de la ley de radiación de los cuerpos negros para ondas largas y de la conexión de la constante de radiación $k$ con la masa absoluta de las moléculas materiales fue hallada por J. H. JeansJ. H. Jeans, Phil. Mag. 10, p. 91, 1905. mediante un método utilizado previamente por Lord Rayleigh,Lord Rayleigh, Nature 72, p. 54 y p. 243, 1905. el cual difiere esencialmente del seguido aquí en el hecho de que evita por completo hacer uso de cualquier acción mutua especial entre la materia (moléculas, osciladores) y el éter, y considera esencialmente solo los procesos en el vacío a través del cual pasa la radiación. El punto de partida para este método de tratamiento viene dado por la siguiente proposición de la mecánica estadística. (Véase arriba, [sect:140.] Secc. 140.) Cuando tienen lugar procesos irreversibles en un sistema que satisface las ecuaciones de movimiento de Hamilton, y cuyo estado está determinado por un gran número de variables independientes y cuya energía total se halla por adición de diferentes partes que dependen de los cuadrados de las variables de estado, estos ocurren, en promedio, en un sentido tal que las energías parciales correspondientes a las variables de estado independientes separadas tienden a la igualdad, de modo que finalmente, al alcanzar el equilibrio estadístico, sus valores medios se han vuelto iguales. A partir de esta proposición se puede hallar la distribución estacionaria de energía en dicho sistema cuando se conocen las variables independientes que determinan el estado.

Imagiboc ahora un vacío perfecto, de forma cúbica, de arista $l$, y con caras reflectoras metálicas. Si tomamos el origen de coordenadas en una esquina del cubo y hacemos que los ejes de coordenadas coincidan con las aristas contiguas, un proceso electromagnóstico que puede tener lugar en esta cavidad está representado por el siguiente sistema de ecuaciones: $\mathsf{E}{x} &= \cos\frac{\mathsf{a} \pi x}{l} \sin\frac{\mathsf{b} \pi y}{l} \sin\frac{\mathsf{c} \pi z}{l} (e} \cos 2\pi \nu t + e_{1}' \sin 2\pi \nu t), \ \mathsf{E{y} &= \sin\frac{\mathsf{a} \pi x}{l} \cos\frac{\mathsf{b} \pi y}{l} \sin\frac{\mathsf{c} \pi z}{l} (e} \cos 2\pi \nu t + e_{2}' \sin 2\pi \nu t), \ \mathsf{E{z} &= \sin\frac{\mathsf{a} \pi x}{l} \sin\frac{\mathsf{b} \pi y}{l} \cos\frac{\mathsf{c} \pi z}{l} (e} \cos 2\pi \nu t + e_{3}' \sin 2\pi \nu t), \ \mathsf{H{x} &= \sin\frac{\mathsf{a} \pi x}{l} \cos\frac{\mathsf{b} \pi y}{l} \cos\frac{\mathsf{c} \pi z}{l} (h' \cos 2\pi \nu t), \} \sin 2\pi \nu t - h_{1

$$\begin{gathered} {𝖧}_y\&=\cos \frac{𝖺\pi x}{l}\sin \frac{𝖻\pi y}{l}\cos \frac{𝖼\pi z}{l}(h_2\sin 2\pi \nu t-h_2^{\prime }\cos 2\pi \nu t), \\ {𝖧}_z\&=\cos \frac{𝖺\pi x}{l}\cos \frac{𝖻\pi y}{l}\sin \frac{𝖼\pi z}{l}(h_3\sin 2\pi \nu t-h_3^{\prime }\cos 2\pi \nu t), \end{gathered}$$

\Label[eqn]{(305)}\tag*{\upshape (305)}$ donde $𝖺$, $𝖻$, $𝖼$ representan tres números enteros positivos cualesquiera. Las condiciones de contorno en estas expresiones se satisfacen por el hecho de que para las seis superficies límite $x=0$, $x=l$, $y=0$, $y=l$, $z=0$, $z=l$ las componentes tangenciales de la intensidad del campo eléctrico $⋿$ se anulan. Las ecuaciones del campo de Maxwell [eqn:(52)] (52) también se satisfacen, como puede verse al sustituir, siempre que existan ciertas condiciones entre las constantes que pueden enunciarse en una sola proposición de la siguiente manera: Sea $a$ una cierta constante positiva, entonces existen entre las nueve cantidades escritas en el siguiente cuadrado: $$\begin{gathered} c*2>c{\displaystyle \frac{𝖺c}{2l\nu }}\&{\displaystyle \frac{𝖻c}{2l\nu }}\&{\displaystyle \frac{𝖼c}{2l\nu }} \\ \mathrm{\backslash Strut}{\displaystyle \frac{h_1}{a}}\&{\displaystyle \frac{h_2}{a}}\&{\displaystyle \frac{h_3}{a}} \\ \mathrm{\backslash Strut}{\displaystyle \frac{e_1}{a}}\&{\displaystyle \frac{e_2}{a}}\&{\displaystyle \frac{e_3}{a}} \end{gathered}$$ todas las relaciones que satisfacen los nueve llamados «cosenos directores» de dos sistemas de coordenadas ortogonales levógiros, es decir, los cosenos de los ángulos de cualesquiera dos ejes de los sistemas.

De aquí que la suma de los cuadrados de los términos de cualquier fila horizontal o vertical sea igual a $1$, por ejemplo, $$\begin{gathered} \frac{c^2}{4l^2}{\nu }^2({𝖺}^2+{𝖻}^2+{𝖼}^2)=1 \\ {h}_1^2+h_2^2+h_3^2=a^2=e_1^2+e_2^2+e_3^2. \end{gathered}$$

\Label[eqn]{(306)}\tag*{\upshape (306)}$ Además, la suma de los productos de los términos correspondientes en dos filas paralelas cualesquiera es igual a cero; por ejemplo, ${3} \mathsf{a} e_{1} &+ \mathsf{b} e_{2} &&+ \mathsf{c} e_{3} &&= 0 \ \mathsf{a} h_{1} &+ \mathsf{b} h_{2} &&+ \mathsf{c} h_{3} &&= 0.

\Label[eqn]{(307)}\tag*{\upshape (307)}$

Además existen relaciones de la siguiente forma: $\frac{h_1}{a}=\frac{e_2}{a}·\frac{𝖼c}{2l\nu }-\frac{e_3}{a}\frac{𝖻c}{2l\nu },$ y por tanto $h_1=\frac{c}{2l\nu }(𝖼e_2-𝖻e_3),\text{ etc.}\mathrm{\backslash Label}[eqn](308)\text{upshape (308)}$

Si los números enteros $𝖺$, $𝖻$, $𝖼$ están dados, la frecuencia $\nu$ queda inmediatamente determinada mediante [eqn:(306)] (306). Entonces, entre las seis cantidades $e_1$, $e_2$, $e_3$, $h_1$, $h_2$, $h_3$, solo dos pueden elegirse arbitrariamente, quedando las demás determinadas unívocamente por ellas mediante relaciones lineales homogéneas.

Si, por ejemplo, asumimos $e_1$ y $e_2$ arbitrariamente, $e_3$ se deduce de [eqn:(307)] (307) y los valores de $h_1$, $h_2$, $h_3$ se hallan entonces mediante relaciones de la forma [eqn:(308)] (308).

Entre las cantidades con acento $e_1^{\prime }$, $e_2^{\prime }$, $e_3^{\prime }$, $h_1^{\prime }$, $h_2^{\prime }$, $h_3^{\prime }$ existen exactamente las mismas relaciones que entre aquellas sin acento, de las cuales son totalmente independientes.

De aquí que dos de ellas también, digamos $h_1^{\prime }$ y $h_2^{\prime }$, puedan elegirse arbitrariamente de modo que en las ecuaciones dadas arriba para valores dados de $𝖺$, $𝖻$, $𝖼$ queden cuatro constantes indeterminadas.

Si formamos ahora, para cualesquiera valores de $𝖺$ $𝖻$ $𝖼$, expresiones del tipo [eqn:(305)] (305) y sumamos las componentes de campo correspondientes, obtenemos de nuevo una solución para las ecuaciones de Maxwell del campo y las condiciones de contorno, la cual, sin embargo, es ahora tan general que es capaz de representar cualquier proceso electromagnético posible en el cubo hueco considerado.

Pues siempre es posible disponer de las constantes $e_1$, $e_2$, $h_1^{\prime }$, $h_2^{\prime }$, que han permanecido indeterminadas en las soluciones particulares separadas, de tal manera que el proceso pueda adaptarse a cualquier estado inicial ($t=0$) que sea.

Si ahora, como hemos supuesto hasta el momento, la cavidad está completamente desprovista de materia, el proceso de radiación con un estado inicial dado queda unánimemente determinado en todos sus detalles. Consiste en un conjunto de vibraciones estacionarias, cada una de las cuales está representada por una de las soluciones particulares consideradas, y que tienen lugar de forma totalmente independiente unas de otras.

De ahí que en este caso no pueda hablarse de irreversibilidad y, por tanto, tampoco de ninguna tendencia a la igualdad de las energías parciales correspondientes a las distintas vibraciones parciales.

Tan pronto como, sin embargo, asumimos la presencia en la cavidad de tan solo el más leve rastro de materia que pueda influir en las vibraciones electrodinámicas, por ejemplo, unas pocas moléculas de gas que emiten o absorben radiación, el proceso se vuelve caótico y tendrá lugar una transición de estados menos probables a más probables, aunque tal vez de forma lenta.

Sin entrar en más detalles sobre la constitución electromagnética de las moléculas, podemos deducir de la ley de la mecánica estadística citada anteriormente que, entre todos los procesos posibles, aquel en el que la energía se distribuye uniformemente entre todas las variables independientes del estado posee el carácter estacionario.

A partir de esto determinemos estas variables independientes.

En primer lugar están las componentes de la velocidad de las moléculas de gas. En el estado estacionario, a cada una de las tres componentes de la velocidad de una molécula, mutuamente independientes, le corresponde por término medio la energía $\frac{1}{3}\overline{L\mathrm{\backslash Strut}}$, donde $\overline{L\mathrm{\backslash Strut}}$ representa la energía media de una molécula y viene dada por [eqn:(200)] (200).

De ahí que la energía parcial que por término medio corresponde a cualquiera de las variables independientes del sistema electromagnético sea exactamente igual de grande.

Ahora bien, según la discusión anterior, el estado electromagnético de toda la cavidad para cada vibración estacionaria correspondiente a cualquier sistema de valores de los números $𝖺$ $𝖻$ $𝖼$ está determinado, en cualquier instante, por cuatro magnitudes mutuamente independientes.

De aquí que para los procesos de radiación el número de variables de estado independientes sea cuatro veces mayor que el número de los sistemas posibles de valores de los enteros positivos $𝖺$, $𝖻$, $𝖼$.

Ahora calcularemos el número de los sistemas posibles de valores $𝖺$, $𝖻$, $𝖼$, que corresponden a las vibraciones dentro de un cierto intervalo pequeño del espectro, digamos entre las frecuencias $\nu$ y $\nu +d\nu$. De acuerdo con [eqn:(306)] (306), estos sistemas de valores satisfacen las desigualdades ${\left(\frac{2l\nu }{c}\right)}^2<{𝖺}^2+{𝖻}^2+{𝖼}^2<{\left(\frac{2l(\nu +d\nu )}{c}\right)}^2,\mathrm{\backslash Label}[eqn](309)\text{upshape (309)}$ donde no solo ${\displaystyle \frac{2l\nu }{c}}$ sino también ${\displaystyle \frac{2ld\nu }{c}}$ debe considerarse como un número grande.

Si ahora representamos cada sistema de valores de $𝖺$, $𝖻$, $𝖼$ gráficamente mediante un punto, tomando $𝖺$, $𝖻$, $𝖼$ como coordenadas en un sistema de coordenadas ortogonal, los puntos así obtenidos ocupan un octante del espacio de extensión infinita, y la condición [eqn:(309)] (309) es equivalente a exigir que la distancia de cualquiera de estos puntos al origen de las coordenadas se encuentre entre ${\displaystyle \frac{2l\nu }{c}}$ y ${\displaystyle \frac{2l(\nu +d\nu )}{c}}$.

De ahí que el número requerido sea igual al número de puntos que se encuentran entre los dos octantes de superficie esférica correspondientes a los radios ${\displaystyle \frac{2l\nu }{c}}$ y ${\displaystyle \frac{2l(\nu +d\nu )}{c}}$.

Ahora bien, puesto que a cada punto le corresponde un cubo de volumen $1$ y viceversa, ese número es simplemente igual al espacio entre las dos esferas mencionadas, y por lo tanto igual a $\frac{1}{8}4\pi {\left(\frac{2l\nu }{c}\right)}^2\frac{2ld\nu }{c},$ y el número de las variables de estado independientes es cuatro veces mayor, es decir, $\frac{16\pi l^3{\nu }^{2}d\nu }{c^3}.$

Puesto que, además, la energía parcial ${\displaystyle \frac{\overline{L\mathrm{\backslash Strut}}}{3}}$ corresponde en promedio a cada variable de estado independiente en el estado de equilibrio, la energía total correspondiente al intervalo de $\nu$ a $\nu +d\nu$ resulta ser $\frac{16\pi l^3{\nu }^{2}d\nu }{3c^3}\overline{L\mathrm{\backslash Strut}}.$ Dado que el volumen de la cavidad es $l^3$, esto da para la densidad espacial de la energía de frecuencia $\nu$ $𝗎d\nu =\frac{16\pi {\nu }^{2}d\nu }{3c^3}\overline{L\mathrm{\backslash Strut}},$ y, sustituyendo el valor de $\overline{L\mathrm{\backslash Strut}}={\displaystyle \frac{L}{N}}$ de la [eqn:(200)] (200), $𝗎=\frac{8\pi {\nu }^{2}kT}{c^3},\mathrm{\backslash Label}[eqn](310)\text{upshape (310)}$ lo cual está en perfecta concordancia con la fórmula de Rayleigh [eqn:(285)] (285).

Si la ley de la equipartición de energía se cumpliera en todos los casos, la ley de radiación de Rayleigh sería válida, en consecuencia, para todas las longitudes de onda y temperaturas. Pero dado que esta posibilidad queda excluida por las mediciones disponibles, la única conclusión posible es que la ley de la equipartición de energía y, con ella, el sistema de las ecuaciones de movimiento de Hamilton no poseen la importancia general que se les atribuye en la dinámica clásica. En ello radica la prueba más sólida de la necesidad de una modificación fundamental de esta última.

Procesos de Radiación Irreversibles