75.

Cuando la radiación no incide de forma normal sobre el reflector, sino con un ángulo de incidencia agudo $\theta$, es posible seguir un razonamiento muy similar, con la diferencia de que entonces $A$, el punto de intersección de un rayo determinado $BA$ con el reflector en el instante $t$, no tiene la misma posición sobre el reflector que el punto de intersección, $A^{\prime }$, del mismo rayo con el reflector en el instante $t+\delta t$ ([fig:6]Fig. 6). El número de ondas que se encuentran en el intervalo $BA$ en el instante $t$ es ${\displaystyle \frac{BA}{\lambda }}$. De manera análoga, en el instante $t$ el número de ondas en el intervalo $AC$ que representa la distancia del punto $A$

desde un plano de onda $C{C}^{\prime }$, perteneciente al rayo reflejado y estacionario en el vacío, es ${\displaystyle \frac{AC}{{\lambda }^{\prime }}}$.

Por tanto, hay en total, en el tiempo $t$ en el intervalo $BAC$, $\frac{BA}{\lambda }+\frac{AC}{{\lambda }^{\prime }}$ ondas del rayo considerado. Podemos notar además que el ángulo de reflexión ${\theta }^{\prime }$ no es exactamente igual al ángulo $\theta$ de incidencia, sino un poco menor, como puede demostrarse mediante una simple consideración geométrica basada en el principio de Huyghens. No obstante, se demostrará que la diferencia entre $\theta$ y ${\theta }^{\prime }$ no es esencial para nuestro cálculo.

Además, en el tiempo $t+\delta t$, cuando el reflector pasa por $A^{\prime }$, hay $\frac{B{A}^{\prime }}{\lambda }+\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{{\lambda }^{\prime }}$ ondas en la distancia $B{A}^{\prime }{C}^{\prime }$. Este último número es menor que el primero y la diferencia debe ser igual al número total de ondas que son expulsadas en el tiempo $\delta t$ del espacio limitado por los planos estacionarios $B{B}^{\prime }$ y $C{C}^{\prime }$.

Ahora $\nu \delta t$ ondas entran en el espacio a través del plano $B{B}^{\prime }$ en el tiempo $\delta t$ y ${\nu }^{\prime }\delta t$ ondas salen del espacio a través del plano $C{C}^{\prime }$. De aquí que tenemos $({\nu }^{\prime }-\nu )\delta t=(\frac{BA}{\lambda }+\frac{AC}{{\lambda }^{\prime }})-(\frac{B{A}^{\prime }}{\lambda }+\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{{\lambda }^{\prime }})$

pero

$$\begin{gathered} BA-B{A}^{\prime }=A{A}^{\prime }=\frac{v\delta t}{\cos \theta } \\ AC-A^{\prime }{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }\cos (\theta +{\theta }^{\prime }) \\ \lambda =\frac{c}{\nu },{\lambda }^{\prime }=\frac{c}{{\nu }^{\prime }}. \end{gathered}$$

Por tanto, ${\nu }^{\prime }=\frac{c\cos \theta +v}{c\cos \theta -v\cos (\theta +{\theta }^{\prime })}\nu .$

Esta relación se cumple para cualquier velocidad $v$ del reflector en movimiento. Ahora bien, dado que en nuestro caso $v$ es infinitamente pequeña en comparación con $c$, tenemos la expresión más simple ${\nu }^{\prime }=\nu (1+\frac{v}{c\cos \theta }[1+\cos (\theta +{\theta }^{\prime })]).$ La diferencia entre los dos ángulos $\theta$ y ${\theta }^{\prime }$ es en cualquier caso del orden de magnitud ${\displaystyle \frac{v}{c}}$; por consiguiente, podemos, sin error apreciable, reemplazar ${\theta }^{\prime }$ por $\theta$, obteniendo así la siguiente expresión para la frecuencia del rayo reflejado para incidencia oblicua ${\nu }^{\prime }=\nu (1+\frac{2v\cos \theta }{c}).\mathrm{\backslash Label}[eqn](83)\text{upshape (83)}$