22.

Puesto que la radiación de energía se propaga en el medio con una velocidad finita $q$, debe haber en un espacio finito una cantidad finita de energía. Por consiguiente, hablaremos de la «densidad espacial de la radiación», entendiendo con ello la relación entre la cantidad total de energía de radiación contenida en un elemento de volumen y la magnitud de este último.

Calculemos ahora la densidad espacial de la radiación $u$ en cualquier punto arbitrario del medio. Cuando consideramos un elemento de volumen infinitamente pequeño $v$ en el punto en cuestión, que tenga cualquier forma imaginable, debemos tener en cuenta todos los rayos que atraviesan el elemento de volumen $v$. Con este fin construiremos alrededor de cualquier punto $O$ de $v$ como centro una esfera 1 de radio $r$, siendo $r$ grande en comparación con las dimensiones lineales de $v$, pero aun así lo suficientemente pequeño como para que no tenga lugar una absorción o dispersión apreciable de la radiación en la distancia $r$ ([fig:1]Fig. 1). Todo rayo que llega a $v$ debe entonces provenir de algún punto de la superficie de la esfera. Si, por lo tanto, consideramos primero únicamente todos los rayos que provienen de los puntos de un elemento de área infinitamente pequeño $d\sigma$ sobre la superficie de la esfera y llegan a $v$, y luego sumamos para todos los elementos de la superficie esférica, habremos contabilizado todos los rayos y no habremos tomado ninguno más de una vez.

Calculemos entonces primero la cantidad de energía que es aportada a la energía contenida en $v$ por la radiación enviada desde un tal elemento $d\sigma$ hacia $v$. Elegimos $d\sigma$ de modo que sus dimensiones lineales sean pequeñas en comparación con las de $v$ y consideramos el cono de rayos que, partiendo de un punto de $d\sigma$, intercepta el volumen $v$. Este cono consta de un número infinito de elementos cónicos con el vértice común en $P$, un punto de $d\sigma$, cada uno de los cuales recorta del volumen $v$ un cierto elemento de longitud, digamos $s$. El ángulo sólido de un tal elemento cónico es ${\displaystyle \frac{f}{r^2}}$, donde $f$ denota el área de la sección transversal normal al eje del cono a una distancia $r$ del vértice. El tiempo requerido para que la radiación atraviese la distancia $s$ es: $\tau =\frac{s}{q}.$

A partir de la expresión [eqn:(6)] (6) podemos hallar la energía irradiada a través de un cierto elemento de área. En el presente caso $d\Omega ={\displaystyle \frac{f}{r^2}}$ y $\theta =0$; por tanto, la energía es: $\tau d\sigma \frac{f}{r^2}K=\frac{fs}{r^{2}q}·Kd\sigma .\mathrm{\backslash Label}[eqn](19)\text{upshape (19)}$ Esta energía entra en el elemento cónico en $v$ y se distribuye en el volumen $fs$. Sumando sobre todos los elementos cónicos que parten de $d\sigma$ y entran en $v$ tenemos $\frac{Kd\sigma }{r^{2}q}\sum fs=\frac{Kd\sigma }{r^{2}q}v.$ Esto representa la energía total de radiación contenida en el volumen $v$, en la medida en que es causada por la radiación a través del elemento $d\sigma$.

Para obtener la energía total de radiación contenida en $v$ debemos integrar sobre todos los elementos $d\sigma$ contenidos en la superficie de la esfera. Denotando por $d\Omega$ el ángulo sólido ${\displaystyle \frac{d\sigma }{r^2}}$ de un cono que tiene su centro en $O$ e intercepta en $d\sigma$ la superficie de la esfera, obtenemos para la energía total: $\frac{v}{q}\int Kd\Omega .$ La densidad volumétrica de radiación requerida se encuentra a partir de esto dividiendo por $v$. Es $u=\frac{1}{q}\int Kd\Omega .\mathrm{\backslash Label}[eqn](20)\text{upshape (20)}$

Dado que en esta expresión $r$ ha desaparecido, podemos considerar $K$ como la intensidad de radiación en el propio punto $O$. Al integrar, debe tenerse en cuenta que $K$ en general depende de la dirección $(\theta ,\varphi )$. Para una radiación uniforme en todas las direcciones, $K$ es una constante y al integrar obtenemos: $u=\frac{4\pi K}{q}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](21)\text{upshape (21)}$