109.

Aunque no poseemos información especial y detallada sobre la función ${⋿}_z$, sin embargo, su relación con la radiación térmica proporciona cierta información importante sobre algunas de sus propiedades generales.

En primer lugar, para la densidad espacial de radiación en el vacío tenemos, según la teoría de Maxwell,

$u=\frac{1}{8\pi }(\overline{{⋿}_x^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{⋿}_y^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{𝖧}_x^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{𝖧}_y^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{𝖧}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}).$

Ahora bien, la radiación es uniforme en todas las direcciones y se encuentra en estado estacionario, por lo que los seis valores medios mencionados son todos iguales entre sí, y de ello se deduce que

$u=\frac{3}{4\pi }\overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}.\mathrm{\backslash Label}[eqn](151)\text{upshape (151)}$

Sustituyamos en esta ecuación el valor de ${⋿}_z$ tal como viene dado por [eqn:(149)] (149). Elevemos al cuadrado esta última e integremos término a término a través de un intervalo de tiempo, desde $0$ hasta $t$, que se supone grande en comparación con todos los periodos de vibración ${\displaystyle \frac{1}{\nu }}$ pero por lo demás arbitrario, y dividiendo después por $t$, obtenemos, dado que la radiación es perfectamente estacionaria,

$u=\frac{3}{8\pi }\sum C_n^2.\mathrm{\backslash Label}[eqn](152)\text{upshape (152)}$

De esta relación podemos deducir inmediatamente una conclusión importante acerca de la naturaleza de ${⋿}_z$ como función del tiempo.

A saber, puesto que la serie de Fourier [eqn:(149)] (149) consta, como hemos visto, de una gran cantidad de términos, los cuadrados, $C_n^2$, de las amplitudes de vibración independientes cuya suma da la densidad espacial de radiación, deben tener valores sumamente pequeños.

Además, en la integral del cuadrado de la serie de Fourier, los términos que dependen del tiempo $t$ y contienen los productos de dos amplitudes diferentes cualesquiera se anulan todos; por lo tanto, las amplitudes $C_n$ y las constantes de fase ${\theta }_n$ deben variar de un número ordinal a otro de una manera bastante irregular.

Podemos expresar este hecho diciendo que las vibraciones parciales independientes de la serie son muy pequeñas y se encuentran en un estado «caótico» (véase la nota al pie de la [page:116]página página:116 (Tr.)).

Para la intensidad específica de la radiación que viaja en cualquier dirección que sea, obtenemos de [eqn:(21)] (21)

$K=\frac{cu}{4\pi }=\frac{3c}{32{\pi }^2}\sum C_n^2.\mathrm{\backslash Label}[eqn](153)\text{upshape (153)}$