176.

Ahora queda el problema de deducir la expresión para $𝖨$, la intensidad espectral de la vibración que excita el oscilador, cuando el estado termodinámico del campo de radiación en el oscilador se da de acuerdo con las afirmaciones hechas en [sect:17.] Sec. 17.

Calculemos primero la intensidad total $J=\overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}$ de la vibración que excita un oscilador, a partir de las intensidades de los rayos térmicos que inciden sobre el oscilador desde todas las direcciones.

Para este propósito debemos tener también en cuenta la polarización de los rayos monocromáticos que inciden sobre el oscilador. Comencemos considerando un haz que incide sobre el oscilador dentro de un elemento cónico cuyo vértice se encuentra en el oscilador y cuyo ángulo sólido, $d\Omega$, viene dado por [eqn:(5)] (5), donde los ángulos $\theta$ y $\varphi$, coordenadas polares, designan la dirección de propagación de los rayos.

El haz completo consiste en un conjunto de haces monocromáticos, uno de los cuales puede tener los valores principales de intensidad $𝖪$ y ${𝖪}^{\prime }$ ([sect:17.] Sec. 17). Si ahora denotamos por $\psi$ al ángulo que el plano de vibración correspondiente a la intensidad principal $𝖪$ forma con el plano que pasa por la dirección del rayo y el eje $z$ (el eje del oscilador), sin importar en qué cuadrante se encuentre, entonces, según [eqn:(8)] (8), la intensidad específica del haz monocromático puede descomponerse en las dos componentes polarizadas planas perpendiculares entre sí,

$$\begin{gathered} 𝖪{\cos }^2\psi \&+{𝖪}^{\prime }{\sin }^2\psi \\ 𝖪{\sin }^2\psi \&+{𝖪}^{\prime }{\cos }^2\psi , \end{gathered}$$

el primero de los cuales vibra en un plano que pasa por el eje $z$ y el segundo en un plano perpendicular a este.

El último componente no contribuye en nada al valor de ${⋿}_z^2$, ya que su intensidad de campo eléctrico es perpendicular al eje del oscilador.

Por tanto, solo queda el primer componente, cuya intensidad de campo eléctrico forma el ángulo ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\theta$ con el eje $z$.

Ahora bien, según la ley de Poynting, la intensidad de un rayo plano polarizado en el vacío es igual al producto de ${\displaystyle \frac{c}{4\pi }}$ y la media cuadrática de la intensidad del campo eléctrico. Por consiguiente, la media cuadrática de la intensidad del campo eléctrico del haz aquí considerado es

$\frac{4\pi }{c}(𝖪{\cos }^2\psi +{𝖪}^{\prime }{\sin }^2\psi )d\nu d\Omega ,$

y el valor medio cuadrático de su componente en la dirección del eje $z$ es $\frac{4\pi }{c}(𝖪{\cos }^2\psi +{𝖪}^{\prime }{\sin }^2\psi ){\sin }^2\theta d\nu d\Omega .\mathrm{\backslash Label}[eqn](317)\text{upshape (317)}$ Mediante integración sobre todas las frecuencias y todos los ángulos sólidos obtenemos entonces el valor requerido $\overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}=\frac{4\pi }{c}\int {\sin }^2\theta d\Omega \int d\nu ({𝖪}_{\nu }{\cos }^2\psi +{𝖪}_{\nu }^{\prime }{\sin }^2\psi )=J.\mathrm{\backslash Label}[eqn](318)\text{upshape (318)}$

La densidad espacial $u$ de la energía electromagnética en un punto del campo es $u=\frac{1}{8\pi }(\overline{{⋿}_x^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{⋿}_y^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{𝖧}_x^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{𝖧}_y^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{𝖧}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}),$ donde ${⋿}_x^2$, ${⋿}_y^2$, ${⋿}_z^2$, ${𝖧}_x^2$, ${𝖧}_y^2$, ${𝖧}_z^2$ denotan los cuadrados de las intensidades de campo, consideradas como cantidades «lentamente variables», y por ello llevan la raya para denotar su valor medio. Puesto que para cada rayo independiente las energías eléctrica y magnética medias son iguales, siempre podemos escribir $u=\frac{1}{4\pi }=(\overline{{⋿}_x^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{⋿}_y^2\mathrm{\backslash Strut}}+\overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}).\mathrm{\backslash Label}[eqn](319)\text{upshape (319)}$ Si, en particular, todos los rayos son no polarizados y si la intensidad de la radiación es constante en todas las direcciones, ${𝖪}_{\nu }={𝖪}_{\nu }^{\prime }$ y, dado que $$\begin{gathered} \int {\sin }^2\theta d\Omega =\iint {\sin }^3\theta d\theta d\varphi =\frac{8\pi }{3} \\ \overline{{⋿}_z^2\mathrm{\backslash Strut}}=\frac{32{\pi }^2}{3c}\int {𝖪}_{\nu }d\nu =\overline{{⋿}_x^2\mathrm{\backslash Strut}}=\overline{{⋿}_y^2\mathrm{\backslash Strut}} \end{gathered}$$

\Label[eqn]{(319a)}\tag*{\upshape (319a)}$ y, por sustitución en [eqn:(319)] (319), $u=\frac{8\pi }{c}\int {𝖪}_{\nu }d\nu ,$ lo que concuerda con [eqn:(22)] (22) y [eqn:(24)] (24).