184.

Calculemos ahora el cambio de energía del sistema de osciladores que ha tenido lugar en el mismo tiempo $d t$ . Según la [eqn:(219)] (219), esta energía en el tiempo $t$ es $E = N h ν \sum_{1}^{\infty} (n - \frac{1}{2}) w_{n},$ donde las cantidades $w_{n}$ , cuya suma total es igual a $1$ , representan las densidades de distribución características del estado. De ahí que el cambio de energía en el tiempo $d t$ sea $d E = N h ν \sum_{1}^{\infty} (n - \frac{1}{2}) d w_{n} = N h ν \sum_{1}^{\infty} n d w_{n} . \Label [e q n] (340) \upshape (340)$

Para calcular $d w_{n}$ consideramos el $n$ -ésimo elemento de región. Todos los osciladores que se encuentran en esta región en el tiempo $t$ han abandonado esta región tras el transcurso del tiempo $τ$ , dado por [eqn:(323)] (323); o bien han pasado al $(n + 1)$ -ésimo región, o bien han realizado una emisión en el límite de las dos regiones. Como compensación, han entrado $(1 - η) N w_{n - 1}$ osciladores durante el tiempo $τ$ , es decir, todos los osciladores que, en el tiempo $t$ , se encontraban en el $(n - 1)$ -ésimo elemento de región, exceptuando aquellos que han perdido su energía por emisión. Así obtenemos para el cambio requerido en el tiempo $d t$ $N d w_{n} = \frac{d t}{τ} N ((1 - η) w_{n - 1} - w_{n}) . \Label [e q n] (341) \upshape (341)$

Es necesaria una discusión separada para el primer elemento de la región $n = 1$ . Pues en esta región penetran en el tiempo $τ$ todos aquellos osciladores que han realizado una emisión en este tiempo. Su número es $η (w_{1} + w_{2} + w_{3} + \dots) N = η N .$

Por tanto, tenemos $N d w_{1} = \frac{d t}{τ} N (η - w_{1}) .$ Podemos incluir esta ecuación en la general [eqn:(341)] (341) si introducimos como una nueva expresión $w_{0} = \frac{η}{1 - η} . \Label [e q n] (342) \upshape (342)$ Entonces [eqn:(341)] (341) da, sustituyendo $τ$ de [eqn:(323)] (323), $d w_{n} = \frac{𝖨 d t}{4 h ν L} ((1 - η) w_{n - 1} - w_{n}), \Label [e q n] (343) \upshape (343)$ y el cambio de energía [eqn:(340)] (340) del sistema de osciladores se convierte en $d E = \frac{N 𝖨 d t}{4 L} \sum_{1}^{\infty} n ((1 - η) w_{n - 1} - w_{n}) .$ La suma $\sum$ puede simplificarse recordando que

$\sum_{1}^{\infty} n w_{n - 1} & = \sum_{1}^{\infty} (n - 1) w_{n - 1} + \sum_{1}^{\infty} w_{n - 1} & = \sum_{1}^{\infty} n w_{n} + w_{0} + 1 = \sum_{1}^{\infty} n w_{n} + \frac{1}{1 - η} .$

Then we have $d E = \frac{N 𝖨 d t}{4 L} (1 - η \sum_{1}^{\infty} n w_{n}) . \Label [e q n] (344) \upshape (344)$ Esta expresión puede obtenerse más fácilmente considerando que $d E$ es la diferencia entre la energía total absorbida y la energía total emitida. La primera se encuentra a partir de [eqn:(250)] (250), y la segunda a partir de [eqn:(324)] (324), teniendo en cuenta [eqn:(265)] (265).

El principio de la conservación de la energía exige que la suma del cambio de energía [eqn:(339)] (339) del campo de radiación y el cambio de energía [eqn:(344)] (344) del sistema de osciladores sea cero, lo cual, de hecho, ocurre de manera bastante general, como se advierte a partir de las relaciones [eqn:(320)] (320) y [eqn:(336)] (336).

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