138.

El estado termodinámico del sistema de osciladores queda determinado por el hecho de que se dan los valores de las densidades de distribución $w_{1}$ , $w_{2}$ , $w_{3}, \dots$ de los osciladores entre los distintos elementos de región. Dentro de un elemento de región, la distribución de los osciladores se rige por la ley del caos elemental ([sect:122.] sec. 122), es decir, es aproximadamente uniforme.

Estos datos bastan para calcular la entropía $S$ así como la energía $E$ del sistema en el estado dado, la primera cantidad directamente a partir de [eqn:(173)] (173), la segunda con la ayuda de [eqn:(205)] (205). Debe tenerse presente en el cálculo que, dado que la energía varía de manera apreciable dentro de un elemento de región, la energía $E_{n}$ de todos aquellos osciladores que se encuentran en el $n$ -ésimo elemento de región ha de hallarse mediante una integración. Entonces, la energía total $E$ del sistema es: $E = E_{1} + E_{2} + \dots E_{n} + \dots . \Label [e q n] (215) \upshape (215)$ $E_{n}$ puede calcularse con la ayuda de la ley de que dentro de cada elemento de región los osciladores están distribuidos uniformemente. Si el $n$ -ésimo elemento de región contiene, en total, $N_{n}$ osciladores, hay por unidad de área $\frac{N_{n}}{h}$ osciladores y, por tanto, $\frac{N_{n}}{h} d f \cdot d ψ$ por elemento de área. De ahí que tengamos: $E_{n} = \frac{N_{n}}{h} \iint U d f d ψ .$ Al realizar la integración, en lugar de $f$ y $ψ$ tomamos $C$ y $ϕ$ como nuevas variables, y dado que de acuerdo con [eqn:(211)] (211), $f = C \cos ϕ ψ = 2 π ν L C \sin ϕ \Label [e q n] (216) \upshape (216)$ obtenemos: $E_{n} = 2 π ν L \frac{N_{n}}{h} \iint U C d C d ϕ$ que debe integrarse con respecto a $ϕ$ desde $0$ hasta $2 π$ y con respecto a $C$ desde $C_{n - 1}$ hasta $C_{n}$ . Si sustituimos de [eqn:(205)] (205), [eqn:(209)] (209) y [eqn:(216)] (216) $U = \frac{1}{2} K C^{2}, \Label [e q n] (217) \upshape (217)$ obtenemos por integración $E_{n} = \frac{π^{2}}{2} ν L K \frac{N_{n}}{h} (C_{n}^{4} - C_{n - 1}^{4})$ y de [eqn:(214)] (214) y [eqn:(208)] (208): $E_{n} = N_{n} (n - \frac{1}{2}) h ν = N w_{n} (n - \frac{1}{2}) h ν,$

\Label[eqn]{(218)}\tag*{\upshape (218)}$ plus 0.75em minus 0.25em es decir, la energía media de un oscilador en el $n$ -ésimo elemento de región es $(n - \frac{1}{2}) h ν$ . Esta es exactamente la media aritmética de las energías $(n - 1) h ν$ y $n h ν$ que corresponden a las dos elipses $C = C_{n - 1}$ y $C = C_{n}$ que limitan la región, como puede verse en [eqn:(217)] (217), si en esta se sustituyen los valores de $C_{n - 1}$ y $C_{n}$ dados por [eqn:(214)] (214).

La energía total $E$ es, según la [eqn:(215)] (215), $E = N h ν \sum_{n = 1}^{n = \infty} (n - \frac{1}{2}) w_{n} . \Label [e q n] (219) \upshape (219)$

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