63.

Deduiremos ahora de la última ecuación una consecuencia basada en el hecho de que el estado del sistema considerado, y por tanto también su entropía, está determinado por los valores de dos variables independientes. Como primera variable tomaremos $V$, y como segunda se puede elegir $T$, $u$ o $p$. De estas tres magnitudes, cualesquiera dos quedan determinadas por la tercera junto con $V$. Tomaremos el volumen $V$ y la temperatura $T$ como variables independientes. Entonces, sustituyendo desde [eqn:(66)] (66) y [eqn:(70)] (70) en [eqn:(73)] (73), tenemos $dS=\frac{V}{T}\frac{du}{dT}dT+\frac{4u}{3T}dV.\mathrm{\backslash Label}[eqn](74)\text{upshape (74)}$ A partir de esto obtenemos ${\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_V=\frac{V}{T}\frac{du}{dT}{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T=\frac{4u}{3T}.$

Al realizar la diferenciación parcial de estas ecuaciones, la primera con respecto a $V$, la segunda con respecto a $T$, hallamos $\frac{{\partial }^{2}S}{\partial T\partial V}=\frac{1}{T}\frac{du}{dT}=\frac{4}{3T}\frac{du}{dT}-\frac{4u}{3T^2}$ o $\frac{du}{dT}=\frac{4u}{T}$ y por integración $u=a{T}^4\mathrm{\backslash Label}[eqn](75)\text{upshape (75)}$ y a partir de [eqn:(21)] (21) para la intensidad específica de la radiación del cuerpo negro $K=\frac{c}{4\pi }·u=\frac{ac}{4\pi }{T}^4.\mathrm{\backslash Label}[eqn](76)\text{upshape (76)}$ Además, para la presión de la radiación del cuerpo negro $p=\frac{a}{3}{T}^4,\mathrm{\backslash Label}[eqn](77)\text{upshape (77)}$ y para la energía radiante total $U=a{T}^4·V.\mathrm{\backslash Label}[eqn](78)\text{upshape (78)}$

Esta ley, que establece que la densidad de volumen y la intensidad específica de la radiación del cuerpo negro son proporcionales a la cuarta potencia de la temperatura absoluta, fue establecida por primera vez por J. StefanJ. Stefan, Wien. Berichte, 79, p. 391, 1879. sobre la base de mediciones bastante imprecisas. Fue deducida más tarde por L. BoltzmannL. Boltzmann, Wied. Annalen, 22, p. 291, 1884. sobre una base termodinámica a partir de la presión de radiación de Maxwell y ha sido confirmada más recientemente por O. Lummer y E. PringsheimO. Lummer und E. Pringsheim, Wied. Annalen, 63, p. 395, 1897. Annalen d. Physik 3, p. 159, 1900. mediante mediciones exactas entre $100°$ y $1300°\mathrm{C}.$, estando definida la temperatura por el termómetro de gas.

En los rangos de temperatura y para los requisitos de precisión en los que las lecturas de los diferentes termómetros de gas ya no coinciden suficientemente o no se pueden obtener en absoluto, la ley de radiación de Stefan-Boltzmann puede utilizarse para una definición absoluta de temperatura independiente de todas las sustancias.