132.

Esta determinación de la entropía de un gas monoatómico ideal se basa únicamente en la conexión general entre entropía y probabilidad expresada en la ecuación [eqn:(164)] (164); en particular, no hemos hecho uso en ninguna etapa de nuestro cálculo de ninguna ley especial de la teoría de los gases. Por lo tanto, es importante ver cómo todo el comportamiento termodinámico de un gas monoatómico, especialmente la ecuación de estado y los valores de los calores específicos, puede deducirse a partir de la expresión encontrada para la entropía directamente mediante los principios de la termodinámica. A partir de la ecuación termodinámica general que define la entropía, a saber, $d S = \frac{d E + p d V}{T}, \Label [e q n] (187) \upshape (187)$ se encuentra que los coeficientes diferenciales parciales de $S$ con respecto a $E$ y $V$ son ${(\frac{\partial S}{\partial E})}_{V} = \frac{1}{T}, {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{E} = \frac{p}{T} .$

Por consiguiente, utilizando [eqn:(186)] (186), obtenemos para nuestro gas ${(\frac{\partial S}{\partial E})}_{V} = \frac{3}{2} \frac{k N}{E - E_{0}} = \frac{1}{T} \Label [e q n] (188) \upshape (188)$ y ${(\frac{\partial S}{\partial V})}_{E} = \frac{k N}{V} = \frac{p}{T} . \Label [e q n] (189) \upshape (189)$ La segunda de estas ecuaciones $p = \frac{k N T}{V} \Label [e q n] (190) \upshape (190)$ contiene las leyes de Boyle, Gay-Lussac y Avogadro; esta última llamada así porque la presión depende únicamente del número $N$ , y no de la naturaleza de las moléculas. Si la escribimos en la forma habitual: $p = \frac{R n T}{V}, \Label [e q n] (191) \upshape (191)$ donde $n$ denota el número de gramos-molécula o moles del gas, referidos a $O_{2} = 32 gr$ ., y $R$ representa la constante absoluta de los gases $R = 831 \times 10^{5} \frac{erg}{grado}, \Label [e q n] (192) \upshape (192)$ obtenemos por comparación $k = \frac{R n}{N} . \Label [e q n] (193) \upshape (193)$ Si ahora llamamos $ω$ al cociente entre el número de moles y el número de moléculas, o lo que es lo mismo, al cociente entre la masa de una molécula y la de un mol, $ω = \frac{n}{N}$ , tendremos $k = ω R . \Label [e q n] (194) \upshape (194)$ A partir de esto, se puede calcular la constante universal $k$ cuando se da $ω$ , y viceversa. De acuerdo con [eqn:(190)] (190), esta constante $k$ no es más que la constante absoluta de los gases, si se refiere a las moléculas en lugar de a los moles.

A partir de la ecuación [eqn:(188)] (188) $E - E_{0} = \frac{3}{2} k N T . \Label [e q n] (195) \upshape (195)$

Ahora bien, puesto que la energía de un gas ideal también está dada por $E = A n c_{v} T + E_{0} \Label [e q n] (196) \upshape (196)$ donde $c_{v}$ es la capacidad calorífica de un mol a volumen constante en calorías y $A$ es el equivalente mecánico del calor: $A = 419 \times 10^{5} \frac{erg}{cal} \Label [e q n] (197) \upshape (197)$ de aquí se sigue que $c_{v} = \frac{3}{2} \frac{k N}{A n}$ y además, teniendo en cuenta la [eqn:(193)] (193) $c_{v} = \frac{3}{2} \frac{R}{A} = \frac{3}{2} \cdot \frac{831 \times 10^{5}}{419 \times 10^{5}} = 3.0 \Label [e q n] (198) \upshape (198)$ como una expresión para la capacidad calorífica por mol de cualquier gas monoatómico a volumen constante en calorías. Compárese con F. Richarz, Wiedemann's Annal., 67, p. 705, 1899.

Para la capacidad calorífica por mol a presión constante, $c_{p}$ , tenemos como consecuencia del primer principio de la termodinámica:

$c_{p} - c_{v} = \frac{R}{A}$

y por tanto, según [eqn:(198)] (198)

$c_{p} = \frac{5}{2} \frac{R}{A}, \frac{c_{p}}{c_{v}} = \frac{5}{3}, \Label [e q n] (199) \upshape (199)$

como se sabe que ocurre en el caso de los gases monoatómicos. Se deduce de [eqn:(195)] (195) que la energía cinética $L$ de las moléculas de gas es igual a

$L = E - E_{0} = \frac{3}{2} N k T . \Label [e q n] (200) \upshape (200)$

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