84.

Ya hemos destacado ([sect:79.] Sec. 79) que $𝗎$ debe considerarse como una función de dos variables independientes, de las cuales hemos tomado como la primera la frecuencia $\nu$ y como la segunda el tiempo $t$. Puesto que ahora en la ecuación [eqn:(95)] (95) el tiempo $t$ no aparece explícitamente, es más apropiado introducir el volumen $V$, que depende únicamente de $t$, como la segunda variable en lugar del propio $t$. Entonces la ecuación [eqn:(95)] (95) puede escribirse como una ecuación en derivadas parciales de la siguiente manera: $V\frac{\partial 𝗎}{\partial V}=\frac{\nu }{3}\frac{\partial 𝗎}{\partial \nu }-𝗎.\mathrm{\backslash Label}[eqn](97)\text{upshape (97)}$ A partir de esta ecuación, si para un valor determinado de $V$, $𝗎$ se conoce como función de $\nu$, puede calcularse para todos los demás valores de $V$ como función de $\nu$. La integral general de esta ecuación diferencial, como puede verse fácilmente por sustitución, es $𝗎=\frac{1}{V}\varphi ({\nu }^{3}V),\mathrm{\backslash Label}[eqn](98)\text{upshape (98)}$ donde $\varphi$ denota una función arbitraria del único argumento ${\nu }^{3}V$. En lugar de esto, al sustituir $\varphi ({\nu }^{3}V)$ por ${\nu }^{3}V\varphi ({\nu }^{3}V)$, podemos escribir $𝗎={\nu }^3\varphi ({\nu }^{3}V).\mathrm{\backslash Label}[eqn](99)\text{upshape (99)}$ Cualquiera de las dos últimas ecuaciones es la expresión general de la ley de desplazamiento de Wien.

Si para un volumen $V$ determinado de manera definitiva se conoce la distribución espectral de la energía (es decir, $𝗎$ como función de $\nu$), es posible deducir de ella la dependencia de la función $\varphi$ respecto a su argumento, y a partir de ahí la distribución de energía para cualquier otro volumen $V^{\prime }$, al cual pueda llevarse la radiación que llena el cilindro hueco mediante un proceso adiabático reversible.