IX

$y-x=0$ を考えてみましょう。ここでは、一般形の $a$、$b$、$c$ がそれぞれ $-1$、$1$、$0$ に置き換わっています。この直線は図中の「原点」$O$ を通り、角 $XOY$ を二等分します。これは図における直線 $L^{\prime }OL$ です。この直線が原点 $O$ を通るという事実は、$x=0$ かつ $y=0$ を代入すると方程式が成り立つことからも容易にわかりますが、$0$ と $0$ は $O$ の座標そのものです。実際、同様の方法で一般化すれば、原点を通る任意の直線の方程式が $ax+by=0$ の形になることは容易に理解できます。方程式 $y+x=0$ の軌跡もまた原点を通って角 $X^{\prime }OY$ を二等分しており、これは図における直線 $L_{1}O{L}_1^{\prime }$ です。

$y-x=1$ を考える。対応する軌跡は原点を通らない。したがって、それが軸と交わる点を求める。それはある座標 $x$ と $0$ の点で $x$ 軸と交わるはずである。しかし、方程式に $y=0$ を代入すると $x=-1$ となる。ゆえに、この点 $(A)$ の座標は $-1$ と $0$ である。同様に、直線が $OY$ 軸と交わる点 $(B)$ は $0$ と $1$ である。この軌跡は図中の直線 $AB$ であり、$LO{L}^{\prime }$ に平行である。同様に、$y+x=1$ は図中の直線 $A_{1}B$ の方程式であり、その軌跡は $L_{1}O{L}_1^{\prime }$ に平行である。$ax+by=0$ および $ax+by=c$ という形式の方程式で表される2直線は平行であるという一般的な定理を証明することは容易である。