XV

極限の定義に照らせば、$\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}=\frac{2hx+h^2}{h}=\frac{h(2x+h)}{h}$ となる。

さて、引数 $h$ が $0$ という値をとる際の ${\displaystyle \frac{h(2x+h)}{h}}$ の極限を求めるにあたっては、$h=0$ における関数の値（もしあれば）は除外される。しかし、$h=0$ を除くすべての $h$ の値について、分母分子を $h$ で割ることができる。したがって、$h=0$ における ${\displaystyle \frac{h(2x+h)}{h}}$ の極限は、$h=0$ における $2x+h$ の極限と同じである。さて、どのような近似の基準 $k$ をとるとしても、$-\frac{1}{2}k$ から $+\frac{1}{2}k$ までの区間を考えることで、その範囲内にある $h$ の値に対して、$2x+h$ は $2x$ との差が $\frac{1}{2}k$ 未満、すなわち $k$ 未満となることがわかる。これはどのような基準 $k$ に対しても真である。ゆえに、$h$ が $0$ という値の近傍において、$2x+h$ はあらゆる近似の基準の範囲内で $2x$ に近似し、したがって $2x$ が $h=0$ における $2x+h$ の極限となる。以上のことから、$2x$ は $h$ が $0$ という値をとる際の ${\displaystyle \frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}}$ の極限である。したがって、$2x$ こそが、我々が引数 $x$ における $x^2$ の増加率と呼んできたものであるという結論が導かれる。このようにして、この手法は我々を同じ増加率へと導くのである。

ライプニッツ流の $h$ を「無限に小さく」していく手法が $x^2$ に対して行ったように。