VII

しかし、$(1,0)$ は単位対であり、$(-1,0)$ は負の単位対である。したがって、$(0,1)$ が所望の性質を持つことになる。もっとも、$-1$ の平方根には考慮すべき二つの根、すなわち $\pm \sqrt{(-1)}$ が存在する。ここで $(0,-1)$ を考えてみよう。ここでも $(-1{)}^2=1$ であることを念頭に置けば、$(0,-1)\times (0,-1)=(-1,0)$ となることがわかる。

したがって、$(0,-1)$ は $-1$ のもう一つの平方根である。これに従えば、順序対 $(0,1)$ と $(0,-1)$ は、順序対の観点から見た $\pm \sqrt{(-1)}$ の解釈となる。しかし、どちらがどちらに対応するのだろうか？ $(0,1)$ が $+\sqrt{(-1)}$ に対応し、$(0,-1)$ が $-\sqrt{(-1)}$ に対応するのか、それとも $(0,1)$ が $-\sqrt{(-1)}$ に、$(0,-1)$ が $+\sqrt{(-1)}$ に対応するのか？ その答えは、どちらの記法を採用しようとも全く差し支えない、というものである。

順序対は、(i) $x$ も $y$ もゼロではない「複素虚数」型 $(x,y)$、(ii) 「実数」型 $(x,0)$、(iii) 「純虚数」型 $(0,y)$ という3つの型に分けることができる。これらの型の相互関係について考察しよう。まず、「複素虚数」型どうしを掛け合わせると