からの歩みによって到達する点を、その歩みを代表するものと見なすことができる。したがって、はを、はを、はを、はを、というようにそれぞれ代表する。注目すべきは、以前の「符号なし」の実数のみを扱っていたときには、の片側、すなわちに沿った点のみが数を代表していたのに対し、歩みを導入した今では、直線の両側に広がるすべての点が歩みを代表しているということである。これは、正の数と負の数によって導入されたより高い一般性の図解的表現であり、すなわち
操作や手順。これらの「符号付き」数は、ベクトル（ラテン語のveho、私は運ぶ、に由来する）と呼ばれるものの特殊なケースでもある。
（引く、あるいは運ぶ）。というのも、我々は粒子が から へ、あるいは から へと運ばれるものと考えることができるからである。
数ページ前、正の数や負の数の導入に伴う複雑さに対して、実務家は異議を唱えるだろうと示唆したが、あれはあの素晴らしい人物に対する中傷であった。実のところ、我々は彼の最大の功績の一つを目の当たりにしているのである。真実を告白しなければならないなら、実際に「＋」と「－」の記号を最初に使用したのは、他ならぬその実務家自身であった。その起源は定かではないが、ドイツの倉庫で商品の木箱にチョークで記された印に由来する可能性が最も高い。それは、ある基準重量に対する過不足を示すためのものであった。それらに関する最も古い記録は、1489年にライプツィヒで出版された書物に見られる。数学においてそれらが最初に使用されたのは、ドイツの数学者シュティフェルによる著書の中でのことのようである。
1544年にニュルンベルクで出版された。しかし、ドイツ人がとりわけ実用的な国民と見なされるようになったのは、ごく最近のことである。海はイギリス人、陸はフランス人、そして雲はドイツ人が支配するという古い警句がある。ドイツ人が「＋」と「－」を雲の中から持ち帰ってきたのは、まさにその通りであった。
これらのシンボルが生み出した概念は、人類の幸福にとってあまりにも重要であり、海や陸から生まれたものとは考えがたい。
正の数と負の数の応用の可能性は、極めて明白である。ある方向への長さが正の数で表されるならば、その反対方向の長さは負の数で表される。ある方向への速度が正であれば、反対方向の速度は負である。時計の針と逆の方向（反時計回り）への文字盤周りの回転が正であれば、時計回りの回転は負である。銀行の預金残高が正であれば、当座貸越は負である。ガラス電気（正電気）が正であれば、樹脂電気（負電気）は負である。実際、この後者の例においては、「正電気」および「負電気」という用語は、単なる名称として考えられたにもかかわらず、他の用語を事実上駆逐してしまった。このような例は無限に挙げることができる。正の数と負の数という概念は、数学的な機微の中でも、実用において最も成功したものである。