XIV

$1,2,3$ といった値を順次代入していくと、級数 $f_1(x),f_2(x),f_3(x),\dots ,f_n(x),\dots$ が得られる。このような級数は、$x$ の値によっては収束することもあれば、発散することもある。実際、変数 $x$ を含む級数で、あらゆる $x$ の値に対して収束するものは極めて稀である。少なくとも、個別の事例においてそうであると仮定するのは非常に危険である。例として、最も単純な事例である「幾何」級数について調べてみよう。

級数 $1,x,x^2,x^3,\dots ,x^n,\dots .$ $n$ 項の和は $s_n=1+x+x^2+x^3+\dots +x^n$ で与えられる。