19世紀半ば頃のことである。しかし、ライプニッツからワイエルシュトラスに至るまでの間、数学が発見し、哲学が解明を試みたこの神秘的な無限小量をめぐって、数学的にも哲学的にも膨大な文献が蓄積されていた。一部の哲学者は、
例えばバークリー主教は、ここで示されたものとは別の理由からではあるが、その概念全体の妥当性を正しく否定した。しかし奇妙な事実は残った。すなわち、この主題の基礎に対するあらゆる批判にもかかわらず、数学的であることは疑いようがなかったのだ。
手順は実質的に正しかった。実際、対象は正しかったのである。たとえその説明が誤っていたとしても。何が行われているのかについて完全に誤った説明をしながらも正解にたどり着くというこの可能性こそが、科学の進歩において、外部からの批判（それが手法の追求を阻止する意図で行われる限りにおいて）を、これほどまでに不毛で無益なものにしているのである。訓練された観察者の直感と、彼らが明らかに何かに到達しつつあるという事実に由来する好奇心の方が、はるかに信頼できる指針となる。いずれにせよ、微分法の成功がもたらした全体的な影響は、無限小という概念をめぐる多量の拙劣な哲学を生み出したことであった。こうした言葉の残滓は、今日でも微分法に関する多くの初等数学の教科書の説明に見出すことができる。数学や哲学の著者が霧に包まれたような深遠さをもって書いているとき、その著者はたわごとを言っているのだと見なすのが、安全な原則である。
ニュートンならその問いを次のように言い換えただろう
そう言うことによって、 がゼロに近づくにつれ、極限において は になる。この命題を、ライプニッツの無限小量の存在を実際には密かに前提としていないことを示すように説明するのが我々の課題である。ニュートン流の記述の仕方に目を通していると、単純さを求めて次のようにしたくなる誘惑に駆られる。
がゼロのときに を とすること。しかし、これではうまくいきません。なぜなら、それによって から までの区間、つまり平均増加量を計算するための区間が消滅してしまうからです。問題は、平均増加量を計算するための長さ の区間を維持しつつ、同時に をあたかもゼロであるかのように扱うにはどうすればよいか、という点にあります。ニュートンはこれを極限という概念によって解決しました。そして私たちは今、
続いて、その真の意味に関するワイエルシュトラスの説明を述べることにする。