XIII

「sine」の特殊関数としての役割、そして「cosine」の特殊関数としての役割を示すために「$\cos$」を「$f$」に対して用いる。したがって、$u,v,w$ を上記のような意味で用いると、$v=\sin u,\text{および}w=\cos u$ となり、ここで $f(x)$ における $x$ を囲む括弧は、これらの特殊関数においては省略される。数対 $u$ と $v$、および $u$ と $w$ を対応させるものとしての関数 $\sin$ および $\cos$ の意味は、その関数関係が（[図]26参照）角 $AOP$ を作図することによって見出されるということであり、その角の測度「$AP$ を $OP$ で割ったもの」が $u$ に等しく、そのとき $v$ は「$PM$ を $OP$ で割ったもの」によって与えられる数であり、$w$ は「$OM$ を $OP$ で割ったもの」によって与えられる数であるということである。

$u$の値を大きくしすぎると、さらなる定義なしには困難が生じることは明らかである。なぜなら、そのとき弧$AP$は円周の4分の1よりも大きくなる可能性があり、点$M$（図[fig:26]26および[fig:27]27参照）は$O$と$A$の間ではなく、$O$と$A^{\prime }$の間に位置することになるからである。また、$P$は図26のように直線$AO{A}^{\prime }$の上側ではなく、下側になる可能性もある。この困難を乗り越えるために、我々は正弦と余弦の完全な定義を行うにあたって、座標幾何学の考え方と慣習を用いることにする。角の一方の辺$OA$を軸$OX$とし、その軸を後方に延長して負の部分$O{X}^{\prime }$を得るものとする。次に、

それと直交するもう一つの軸 $YO{Y}^{\prime }$。点 $O$ から距離 $r$ にある任意の点 $P$ の座標を $x$ および $y$ とする。平面の第1「象限」においては、これらの座標は両方とも正である。例えば、[図]27における $P$ の座標 $x$ と $y$ がそうである。他の象限では、座標のどちらか一方または両方が負となる。例えば、[図]27における $P^{\prime }$ の座標は $x^{\prime }$ と $y$、$P^{″}$ の座標は $x^{\prime }$ と $y^{\prime }$、$P^{‴}$ の座標は $x$ と $y^{\prime }$ であり、ここで $x^{\prime }$ と $y^{\prime }$ はともに負の数である。正の角 $POA$ は弧 $AP$ を $r$ で割ったものであり、その正弦は ${\displaystyle \frac{y}{r}}$、余弦は ${\displaystyle \frac{x}{r}}$ である。正の