X

それらは、完全平方式として書くことができる。展開すると、$d^2{x}^2+2dexy+e^2{y}^2+2gx+2fy+c$ となる。したがって、比較により $a=d^2$、$h=de$、$b=e^2$ であり、ゆえに $ab-h^2=d^2{e}^2-(de{)}^2=0$ となる。したがって、必要条件は自動的に満たされる。方程式 $2xy-4=0$（ここで $a=b=g=f=0$、$h=1$、$c=-4$）は双曲線を表す。なぜなら、$ab-h^2$ の条件は $0-1^2$、すなわち $-1$ となり、これは負であるからである。

plus 0.75em minus 0.25em そのように述べることで導入された制限は、

一般方程式が何らかの軌跡を表すとき、それが円錐曲線を表すという条件が必要となるのは、一般方程式の特殊なケースの中には実数上の軌跡を一切表さないものが存在するためである。例えば、$x^2+y^2+1=0$ は、$x$ と $y$ のいかなる実数値によっても満たされることはない。この場合、その軌跡は虚数点から構成されると言うのが通例である。しかし、幾何学におけるこの虚数点という概念は実際には極めて複雑なものであり、ここでは立ち入らないことにする。