XIV

幾何級数 $1+x+x^2+x^3+\dots +x^n+\dots$ について考える。

それは $-1$ から $+1$ までの区間全体で収束するが、端点である $x=\pm 1$ は除外される。

しかし、この区間全体で一様に収束するわけではない。なぜなら、$s_n(x)$ を $n$ 項の和とすれば、$s_n(x)$ と極限 ${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$ との差は ${\displaystyle \frac{x^{n+1}}{1-x}}$ であることが証明されているからである。さて、項数 $n$ を任意の数、例えば $20$ とし、$k$ を任意の近似基準、例えば $\mathrm{.001}$ としよう。このとき、$x$ を $+1$ に十分近づけるか、あるいは $-1$ に十分近づけることによって、${\displaystyle \frac{x^{21}}{1-x}}$ の絶対値を $\mathrm{.001}$ より大きくすることができる。したがって、$20$ 項では

その全区間にわたって行うわけではないが、一部の区間においては、それだけで十分すぎるほどである。