したがって、完全な曲線は二つの離れた部分、すなわち「枝（branches）」と呼ばれるものから構成される。この場合は、 と という二つの枝によって示されており、これらが合わさって一つの曲線をなしている。どちらの枝も閉じてはおらず、二つの半円錐が頂点から遠ざかるにつれて延長されるにつれ、それぞれが無限に広がっていく。このような円錐曲線は双曲線（hyperbola）と呼ばれる。
したがって、円錐曲線には楕円、放物線、双曲線の3つの型がある。ある意味において、放物線が楕円と双曲線の中間に位置する極限的なケースであることは容易に見て取れる。放物線はより特殊な種類であり、より限定的な条件を満たさなければならない。これら3つの名称は、明らかにペルガのアポロニオス（生年
紀元260年頃に生まれ、200年頃に没した）は、円錐曲線に関する体系的な論文を著し、それが16世紀まで標準的な文献として残った。
どれほど厄介であるかは、ただちに明らかであるはずだ。
そして、これらの曲線の性質を研究することが、ギリシアの幾何学者たちにとってどれほど困難なことであったか。これらの曲線は平面曲線でありながら、その研究には立体図形の透視図法的な描画が伴うのである。したがって、上に示した図において、補助線をほとんど引いていないにもかかわらず、図形は十分に複雑なものとなっている。その
曲線は平面曲線であり、立体図形の中に踏み込むことなく、平面内だけでそれらを定義できることは自明のように思われる。同時に、「立体」による定義において一つの統一的な定義方法があるのと同様に――すなわち、円錐を平面で切断することによる――
平面――これは3つのケースを生む。したがって、いかなる「平面」の定義においても、同様に3つのケースに分類される一貫した手順が存在すべきである。それらの平面上に描かれた形状は、3つの図[fig:16]16、[fig:17]17、および[fig:18]18における曲線である。図中の点およびは、それぞれ
18 頂点、そして直線 を長軸とする。放物線（[図]17参照）については、以下の点に留意されたい。
は頂点を一つしか持たない。アポロニウスは、アポロニウスとパップスに関するこの記述についてはボール（Ball, loc. cit.）を参照のこと。楕円および双曲線（図[fig:16]16および図[fig:18]18）のいずれにおいても、 対 の比（すなわち ）が一定であることを証明し、またその比が