S P ′ − S ′ P ′ は一定で A A ′ に等しい。しかし、放物線については、これに対応する点が存在しないように思われた。
ついに500年後、最後の偉大なギリシアの幾何学者であるアレクサンドリアのパップスは、次のような発見をした。
この思考の筋道を完結させる最後の秘密である。図[fig:16]16および図[fig:18]18には2本の線、とが、図[diagram]17には1本の線、が見て取れるだろう。これらは曲線の準線であり、楕円と双曲線にはそれぞれ2本ずつ、放物線には1本が存在する。各準線は、それに対応する近くの焦点と対になっている。
3種類の曲線のいずれにおいても、焦点 とそれに対応する準線 の特徴的な性質は、比が
対 （すなわち ）は一定である。ここで は から準線に下ろした垂線であり、 は曲線上の任意の点である。ついに我々は、平面から離れる必要がなく、かつ3つの曲線すべてに対して一様に述べられる、望んでいた曲線の性質を見出した。楕円の場合、この比（注B、注B.136参照）は1より小さく、放物線の場合は1に等しく、双曲線の場合は1より大きい。
パップスがその探究を終えたとき、
彼は、些細な拡張を除けば、その主題は事実上やり尽くされたと感じていたに違いない。もし彼が千年以上先の科学の歴史を予見できていたとしても、それは彼の確信を裏付けるものとなっただろう。しかし実のところ、この数学の一分野に関連する真に実りある着想は、まだ誰にも触れられてさえおらず、自然界におけるそれらの極めて重要な応用について推測できた者もいなかった。知識や研究を明らかに有用なものだけに限定しようとする人々にとって、これほど印象的な警告はないだろう。円錐曲線が千八百年間もの間、数学者たちの知的好奇心を満たすこと以外の実用性は一切考えられることなく、純粋な抽象科学として研究され続け、そしてこの長い抽象的研究の期間の終わりに、それらが