以下の各章の目的は、数学を教えることではなく、学生が学習の最初から、この学問が何を対象としているのか、そしてなぜそれが自然現象に適用される厳密な思考の基礎として不可欠であるのかを理解できるようにすることにある。以下に述べる、この学問のいかなる部分における詳細な演繹への言及も、挿入されるものとする。
あくまで例示を目的としたものであり、たとえ随所で読者の理解の及ばない技術的なプロセスや記号が例証のために引用されたとしても、議論の全体像は理解できるように配慮する。
多くの人々にとって、最初に出会う
数学との関わりは、算術を通じて始まる。2足す2が4になるということは、誰もが耳にしたことのある、単純な数学的命題の典型として通常受け入れられている。したがって、数学という学問の最も明白な特徴を見出すためには、算術を考察するのが良いだろう。さて、算術について最初に注目すべき事実は、それが万物に適用できるということである。味覚や音、リンゴや天使、心の概念や身体の骨に至るまで、あらゆるものに適用できる。対象の性質は全く関係がなく、どのようなものであっても「2足す2は4である」という事実は真である。このように、数学の主要な特徴として、数学は「もの」が単に「もの」であるという理由だけで適用可能な性質や概念を扱うものであり、それらに関連するいかなる特定の感情や情緒、感覚とも切り離されているという点を挙げることができる。これこそが、数学を抽象的な学問と呼ぶことの意味である。
私たちが到達した結論は、注目に値するものである。……であると考えるのは自然なことだ。
抽象的な科学は、人間生活の諸事においてそれほど重要ではありえない。なぜなら、それは真に関心を引くあらゆる事柄を考察の対象から除外してしまっているからである。スウィフトが『ガリヴァー旅行記』の記述の中で、
『ラピュタへの旅』は、この点について二つの考えを持っている。
点である。彼はその国の数学者たちを、愚かで役に立たない夢想家と評し、彼らの注意を喚起するには「フラッパー（叩き手）」が必要だと述べている。また、数学者の仕立て屋は四分儀で彼の身長を測り、定規とコンパスで他の寸法を割り出すが、その結果できあがるのはひどく不格好な服である。その一方で、ラピュタの数学者たちは、空中に浮かぶ磁気島の驚くべき発明によって国を支配し、臣民に対する優位を保っていた。実際、スウィフトが生きた時代は、同時代の数学者を揶揄するには極めて不適切な時期であった。ニュートンの『プリンキピア』