XIV

しかし、これは関数を定義する非常に優れた方法である。すなわち、無限収束級数の極限として定義する方法であり、実際、ほとんどの関数はこのように定義されているか、あるいはそう定義されるべきなのである。

したがって、初等的な（数学における）最も重要な級数は

解析は $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots$ であり、ここで $n!$ は本章の初めに定義した意味を持つ。この級数は、すべての $x$ の値に対して絶対収束し、また、我々が選ぶいかなる区間内においても一様収束することが証明できる。したがって、この級数は級数として備えるべきあらゆる好都合な数学的性質を有している。これを指数級数と呼ぶ。その無限和を $\exp x$ と記す。すなわち、定義により $\exp x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots$ である。$\exp x$ を指数関数と呼ぶ。