したがって、追加される3つの行は、最初の項を上の行とする数列をなす。この数列は、最も重要な項を最後に提示するという芸術的な手法に従っているが、それは芸術的な感性によるものではなく、一の位をしっかりと保持することによって得られる利便性のためであり、こうすることで形式上は必要となるいくつかのを省略することが可能になるのである。
しかし、私たちが徐々に近似していくとき
無限級数の項を次々と足し合わせる際、私たちは何に近似しようとしているのだろうか。困難なのは、この級数には言葉通りの意味での「和」が存在しないことである。なぜなら、その項をすべて足し合わせるという操作は、決して完了することがないからだ。その答えは、私たちは級数の総和の極限に近似しようとしているのであり、今や私たちは
「級数」の「極限」とは何かについて説明します。
級数の和は、項の数が十分に大きければ、その和が望む限り極限値に近づくとき、ある極限値に収束する。しかし、極限に近づくという意味についてのこの説明は、現代数学の厳密な吟味に耐えられないことは明らかである。「十分に大きい」とはどういうことか、「ほぼ等しい」とはどういうことか、そして「望む限り」とはどういうことか。これらすべての曖昧な言い回しは、純粋数学においてのみ許容される単純な抽象的概念を用いて説明されなければならない。
級数の連続する項を , , , , , 等とし、 をその級数の第 項とする。また、 がどのような値であれ、 を最初の 項の和とする。すなわち：–-